代数学的新生—世纪的代数学.pptx
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1、1 1 微分几何的形成微分几何的形成微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。1731年法国数学家克莱洛发表了关于双重曲率曲线的研究,开创了空间曲线理论,是建立微分几何的重要一步。欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念,即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在无限小分析引论第2卷中则引进了曲线的参数表示:x=x(s),y=y(s),z=z(s),欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率,并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式欧拉的
2、曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化(另一个曲率,现在叫“挠率”,其解析表示到19世纪初才得到)。欧拉关于曲面论的经典工作关于曲面上曲线的研究(1760)被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中第1页/共42页将曲面表示为z=f(x,y),并引进了相当于的标准符号外,欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念,引进了法曲率、主曲率等概念,并得到了法曲率的欧拉公式(其中是主曲率,是一法截面与主曲率所在法截面的交角)。1771年以后,欧拉还率先对可展曲面理论进行了研究,导出了曲面可展性的充分必要条件。18世纪微分几何的发展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年发表的关于分析的几何应用
3、的活页论文是第一部系统的微分几何著述。他将空间曲线与曲面理论与微分方程紧密结合,在曲面簇、可展曲面及直纹面研究方面获得了大量深刻的结果。与大多数学数学家不同的是,蒙日不仅将分析应用于几何,同时也反过来用几何去解释微分方程,从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论,引进了探讨偏微分方程的几何工具:特征曲线与特征锥(现称“蒙日锥”)等,它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念。第2页/共42页18世纪代数学的主题仍然是代数方程。在这个世纪的最后一年,年青的高斯在他的博士论文中公布了代数基本定理的第一个实质性证明。高斯的这一成果可以看作是18世纪方程论的一个漂亮的总结。代数基本定理断言n次代
4、数方程恰有n个根。它最早是由荷兰数学家吉拉尔于1629年提出,后经笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈述、应用,但均未给出证明。高斯的思想具有深刻的意义,因为其证明是纯粹存在性的。在此之前,几乎所有的数学家都习惯于通过实际构造来证明问题解的存在。相对于代数基本定理而言,高次方程根式可解性问题显得并不怎么幸运。尽管未能在18世纪奏响解决的凯歌,但这个世纪的数学家们还是为此做出了历史性贡献,其中以拉格朗日的工作最为重要。他在1770年的一篇长文中探讨了一般三、四次方程能根式求解的原因,并猜测高次方程一般不能根式求解。1799年,拉格朗日的部分猜测被意大利的鲁菲尼所证实。可以说,他们已经走到了成功的边缘,虽
5、然未能达到目标,却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。方程组理论也是颇受关注的代数方程问题。首先是线性方程组与行列式理论。瑞士数学家克拉姆在其代数曲线分析引论(1750)中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则,即“克拉姆法则”。行列式理论在1772年被法国数学家范德蒙德系统化,自此成为独立的数学对象。范德蒙德用二阶子行列式及其余子式来展开行列式的法则,后来被拉普拉斯推广到一般情形而称为“拉普拉斯展开”。2 2 方程论及其他方程论及其他第3页/共42页与方程论相联系的是人们对数的认识。18世纪的数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图。虽然在接受负数与复数方面还存有疑虑与争议
6、,但在弄清复数的意义方面却也有些功绩。随着微积分的发展,复数几乎进入了所有的初等函数领域,并且在应用上卓有成效。达朗贝尔在1747年关于一切复数均可以表示成形式a+b i的断言开始被多数人接受。1797年,丹麦数学家韦塞尔创造了复数的几何表示,并发展了复数的运算法则。等到1806年瑞士人阿尔冈、1831年高斯各自独立发表了关于复数几何表示的研究之后,笼罩着虚数的疑云终于被驱散开来。18世纪数学家在澄清无理数逻辑基础方面没有进展,但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性。欧拉在1737年证明了e是无理数。他的证明以连分数为基础,他得到 e 的连分数展开:因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一
7、个有限的连分数,所以e必定是无理数。1761年,兰伯特用类似方法证明了圆周率是无理数。稍后勒让德甚至猜测说可能不是任何有理系数方程的根。这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数。1844年,法国数学家刘维尔第一次真正地显示了超越数的存在,他证明了形如 的数(a1,a2,a3,为从0到9的任意整数)都是超越数。1873年和1882年,法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又分别证明了e和的超越性。第4页/共42页虽然古希腊、中国与印度的数学著作中早就给出了不少问题和结果,但近代意义上的数论研究还得从费马开始。费马提出了大量定理或猜想,让全世界的数学家们忙碌了好几个世纪,有的至今仍为现代数论饶有兴
8、趣的课题。(1)费马小定理:如果p是素数,a与p互素,则ap-a可以被p 整除。1640年10月18日,费马给德贝西(B.FrenicledeBessy)的信中提出。(2)费马大定理:对于任意大于2的自然数n,方程xn+yn=zn 没有整数解。费马阅读巴歇(C.-G.Bachet)校订的丢番图算术时的批注。1670年费马及其子萨缪尔(Samuel)的批注连同巴歇校订的算术再版,此问题公诸于世。(3)平方数问题:I)每个4n+1形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为两个平方数之和;每个4n+1形的素数的三次方和它的四次方都只能以两种方式;其五次方和六次方都能以三种方式,如此等等,以至无穷。如n
9、=1时,5=22+12,52=32+42,53=22+112=52+102,等等;II)每个正整数可表示成四个或少于四个平方数之和。(4)费马数:形如Fn=22+1(n=0,1,2,3,)的数永远是素数.1640年,费马给梅森的信中提出。(5)佩尔方程的解:当A是正数而非完全平方数时,佩尔(J.Pell,1611-1685)方程x2-Ay2=1有无穷个整数解。1657年2月,费马给德贝西(B.FrenicledeBessy)的信中提出。18世纪的数论尤其受到了费马思想的主宰,该时期得到的许多结果,都与证明费马提出的这些猜想有关。3 3 数论的进展数论的进展n第5页/共42页1732年,欧拉推翻
10、了费马关于费马数的结论,证明n=5时,Fn=22+1不是素数,它有一个因子641。今天我们知道,对于n=516,Fn都是合数。还存在其他的n使Fn是合数。1736年,欧拉证明了费马小定理是正确的。1753年,欧拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布证明了n=3时的费马大定理。其证明使用了一种称为“无限下降法”技巧。该技巧实际也是费马的发明。他曾使用这种方法证明了如下定理:边长为整数的直角三角形其面积不可能是整数的平方。这也是费马惟一写出了证明过程的定理。证明大意是:令x,y,z为直角三角形的边长,z 是斜边,则有x2+y2=z2,设三角形面积为 u2,u是整数
11、,三角形面积应为u2=xy/2.依靠一套巧妙的推理,费马导出了另一组正整数 X1,Y1,Z1和U1 ,因为X1,Y1,Z1和x,y,z有同样性质,故根据同样推理可导出另一组正整数X2,Y2,Z2,U2,使得5且有Z2Z1.且有Z11,n 取遍所有的正整数,p取遍所有素数。第7页/共42页从17世纪初开始,数学经历了近两个世纪的开拓,在18世纪行将结束的时候,数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说:“在我看来似乎(数学的)矿井已经挖掘很深了,除非发现新的矿脉,否则迟早势必放弃它,科学院中几何学(指数学)的处境将会有一天变成目前大学
12、里阿拉伯语的处境一样,那也不是不可能的。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份关于1789年以来数学科学进展的历史及其现状的报告更是预测在数学的“几乎所有的分支里,人们都被不可克服的困难阻挡住了;把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了,所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义的由来,可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合,使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉,而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷,就会使人感到迷失方向。当然也有人看到了曙光,孔多塞在1781年写道:“不应该相信什么我们已经接近了这些科学必
13、定会停滞不前的终点,我们应该公开宣称,我们仅仅是迈出了万里征途的第一步!”4 184 18世纪末数学发展的悲观情绪世纪末数学发展的悲观情绪第8页/共42页 从根本上说,数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关,对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是,数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性。一种数学理论一经建立,便可基于逻辑思维向前推进,并由此导致新理论与新思想的产生。因此,内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖,而忽视数学发展的内在动力,难免产生对数学发展前景的悲观预见.生产实践的需要 数学发展的动力数学发展的动力 数学内部的矛盾 数学家的求知欲
14、实际上,就在18世纪后半叶,数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题,其中最突出的是:(1)高于四次的代数方程的根式求解问题;(2)欧几里得几何中平行公理的证明问题;(3)牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。在19世纪初,这些问题已变得越发尖锐而不可回避。第9页/共42页1919世纪的代数学:新生的时代世纪的代数学:新生的时代第10页/共42页1 1 代数方程的可解性与群的发现发现者:发现者:发现者:发现者:阿贝尔阿贝尔 伽罗瓦伽罗瓦发展者:发展者:发展者:发展者:凯莱凯莱 若尔当若尔当 F.F.克莱因克莱因 李李 中世纪的阿
15、拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初,代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪,阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来,让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内,很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻求这种解法的努力却都以失败而告终。第11页/共42页Niels Henrik Abel(18021829)挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛一个牧师家庭,1829年4月6日卒于弗鲁兰。13岁
16、入奥斯陆一所教会学校学习,年轻的数学教师B.M.霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。少年时,阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。1821年在一些教授资助下,入奥斯陆大学。在学校里,他几乎全是自学,同时花大量时间作研究。1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者,他的论文以法文写成,也送给了C.F.高斯,可是在外国数学家中没有任何反响。1825年,他去拍林,结识了A.L.克雷尔,并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志。第1卷(1826)刊登了7篇阿贝尔的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。1826年
17、阿贝尔到巴黎,遇见了A.M.勒让德和A.L.柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文,提交给法国科学院,不幸未得到重视,他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威,靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值。1828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年4月6日,不到27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和雅可比共同获得法国科学院大奖。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了
18、五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。1.11.11.11.1 阿贝尔阿贝尔第12页/共42页阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如R(x,y)dx的积分(现称阿尔贝积分),其中R(x,y)是x和y的有理函数,且存在二元多项式f,使f(x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言:若干个这种积分之和可以用
19、g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g只依赖于f,就是f的亏格。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路,并深刻地影响着其他数学分支。C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年。阿贝尔铜像阿贝尔中学时代的笔记第13页/共42页Evariste Galois (18111832)1.21.21.21.2 伽罗瓦伽罗瓦尽管1824年阿贝尔完全证实了拉格朗日的命题:“不可能用根式解四次以上方程”,粉粹了人们对根式求解五次以上代数方程的奢望,而且没有忘记给出一些特殊的能用根式求解的方程,其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。在此过程中,阿贝尔已在实际上引进了“域”
20、这一重要的近世代数思想。然而数学家们并不满足,他们又开始追问:究竟什么样的特殊方程能够用根式来求解?在其1829-1831年间完成的几篇论文中,一位同样年青的法国数学家伽罗瓦对此做出了解答。伽罗瓦的思想是将一个n次方程的n个根(由代数基本定理可知)x1、x2、xn作为一个整体来考察,并研究它们之间的排列或称“置换”。为了容易理解起见,我们以四次方程的四个根x1、x2、x3、x4为例,在包含这些 xi 的任何表达式中交换 x1和 x2就是一个置换,用第14页/共42页来表示。另一个置换用表示。第一个置换后再实行第二个置换,等价于实行第三个置换 我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置
21、换,即P1P2=P3.对于四次方程的情形,易知共有4!=24个可能的置换。这些置换的全体构成一个集合,而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换,伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群”的定义,不过它只是针对一个具体的群(置换群)所作的定义,还不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的“子群”。这个群,伽罗瓦称之为“方程的群”,也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如下:考虑由方程系数的有限次加、减、乘、除运算可能得到的一切表达式的集合。这个集合,现在叫方程的“基本域”,并记为F=Q(a1,a2,a
22、n),Q为有理数域,a1,a2,an 是方程的系数,但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群,这些置换保持方程的根以F的元素为系数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说明这个重要的概念。第15页/共42页设方程,其中 p、q 是独立的,令F 是 p,q的有理表达式形成的域(基本域),如就是这样一个表达式。这个方程的四个根:是我们已经知道的,并且容易看出这些根的系数在F中的下列两个关系成立:x1+x2=0,x3+x4=0,可以验证,在方程根的所有24个可能置换中,下面8个置换第16页/共42页都能使上述两个关系在F中保持成立,并且这8个置换是24个
23、置换中,使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方程在域F中的群,即伽罗瓦群。需要指出,保持根的代数关系不变,就意味着在此关系中根的地位是对称的。因此,伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。伽罗瓦于是指出,方程的群(即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着本质联系,对方程的群的认识,是解决全部根式可解问题的关键。伽罗瓦证明,当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程的群是可解群)时,方程才是根式可解的,也就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题,但他的思想却远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。这不只是因为它解决了方程根式可解性
24、这样一个难题,更重要的是群概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。第17页/共42页伽罗瓦之后,数学家们逐渐认识到“群”可以是一个更加普遍的概念,而不必仅限于置换群。凯莱(A.Cayley)在1849-1854年间指出了矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群,人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类f=ax2+2bxy+cy2(a,b,c为整数,x,y取整数值,D=b2ac取固定值)对于型的合成运算也构成群。1868-1869年间,若尔当(C.Jordan)在物理学家布拉维斯(A.Bravais)关于运动群的理论的启发下开展了无限群(即有无限多个元素的群)的系统研究。
25、若尔当的工作影响克莱因(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究。1874-1883年间,挪威数学家李(S.Lie,1842-1899)又研究了无限连续变换群(李群)。Arthur CayleyCamille JordanFelix Christian Klein 1849-1925第18页/共42页Sophus Lie在抽象的群概念中,其元素本身的具体内容已无关紧要,关键是联系这些元素的运算关系。这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。在19世纪末,群论已被应用于晶体结构的研究,在现代物理中,群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。代数学由于
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