2019高中数学 第三章 第2课时 空间向量与垂直关系学案 新人教A版选修2-1.doc
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1、1第第 2 2 课时课时 空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系学习目标:1.能利用平面法向量证明两个平面垂直(重点)2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系(重点,难点)自 主 预 习探 新 知空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a a(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b b(b1,b2,b3),则lma ab b0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是a a(a1,b1,c1),平面的法向量是u u(a2,b2,c2),则la au ua aku u(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)(kR R)面面垂直若平面的法向量u u
2、(a1,b1,c1),平面的法向量v v(a2,b2,c2),则 u uv v uvuv0a1a2b1b2c1c20思考:若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线,则这两个平面是否垂直?提示 垂直基础自测1思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面垂直( )(2)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直( )(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量,则直线和平面垂直( )答案 (1) (2) (3)2若直线l的方向向量a a(1,0,2),平面的法向量为n n(2,0,4),则( )Al BlClDl与斜交B B n n(2,0,4)2(1,0
3、,2)2a a,n na a,l.3若直线l1的方向向量为u u1(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,1,2),则两直线的位置关系是_l1l2 (1,1,1),u u11131210,ABAB因此l1l2.4已知两平面,的法向量分别为u u1(1,0,1),u u2(0,2,0),则平面,的位置关系为_. 2【导学号:46342167】 u u1u u20,则.合 作 探 究攻 重 难应用向量法证明线面垂直如图 3210 所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为 2,D为CC1的中点图 3210求证:AB1平面A1BD思路探究 法一:通过证明,得到AB1BA1,AB
4、1BDAB1BA1AB1BD法二:证明与平面A1BD的法向量平行AB1证明 法一:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立OBOO1OA空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)33所以(1,2,),(1,2,),(2,1,0)AB13BA13BD因为1(1)22()0.AB1BA1331(2)21()00.AB1BD3所以,即AB1BA1,
5、AB1BDAB1BA1AB1BD又因为BA1BDB,所以AB1平面A1BD3法二:建系同方法一设平面A1BD的法向量为n n(x,y,z),则Error!,即Error!令x1 得平面A1BD的一个法向量为n n(1,2,),3又(1,2,),所以n n,即n n.AB13AB1AB1所以AB1平面A1BD规律方法 1.坐标法证明线面垂直有两种思路法一:(1)建立空间直角坐标系;(2)将直线的方向向量用坐标表示;(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为 0.法二:(1)建立空间直角坐标系;(2)将直线的方向向量用坐标表示;(3)求出
6、平面的法向量;(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用法二,否则常常选用法一解决跟踪训练1.如图 3211,长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,点P为DD1的中点,求证:直线PB1平面PAC图 3211证明 依题设,以D为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则C(1,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),B1(1,1,2),4于是(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),CACPPB1(1,1,0)(1,1,1)0,CAPB1(1,0,1)(1,1,1)0,CPPB1故,即PB1CP,PB1CA,
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