(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 文.doc
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1、1第第 3 3 讲讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题考情考向分析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解例 1 (2018百校联盟联考)已知N为圆C1:(x2)2y224 上一动点,圆心C1关于y轴的对称点为C2,点M,P分别是线段C1N,C2N上的点,且0,2.MPC2
2、NC2NC2P(1)求点M的轨迹方程;(2)直线l与曲线交于A,B两点,AB的中点在直线y 上,求OAB(O为坐标原点)面1 2积的取值范围解 连接MC2,因为2,所以P为C2N的中点,C2NC2P因为0,MPC2N所以,MPC2N所以点M在C2N的垂直平分线上,所以|MN|MC2|,因为|MN|MC1|MC2|MC1|24,6所以点M在以C1,C2为焦点的椭圆上,因为a,c2,所以b22,6所以点M的轨迹方程为1.x2 6y2 22(2)由题意知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),l:ykxm,由Error!得x26kmx3m260,(3k21)x1x2,x1x2,6km
3、 3k213m26 3k2124(6km)(3k21)(3m26)120,(6k22m2)设AB的中点为C,(x0,y0)则x0,y0kx0mm,3km 3k213k2m 3k21m 3k21由题意知 ,所以 2m3k21,m 3k211 2由0,得 0b0)的离心率为,焦距为 2.斜率x2 a2y2 b2632为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k1,求|AB|的最大值;(3)设P(2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为3D,若C,D和点Q共线,求k.(7 4,1 4)解 (1)由题意得Error!解得a,b1.3所以
4、椭圆M的方程为y21.x2 3(2)设直线l的方程为yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)由Error!得 4x26mx3m230,36m216(3m23)12m2480,即20 显然成立设A(x1,y1),B(x2,y2),则Error!|AB|x1x2|,1k212 1k2|b|而原点O到直线l的距离d,|b|1k2SABO |AB|d6.1 2当直线l的斜率不存在时,l:x2 或x2,则|AB|6,原点O到直线l的距离d2,SABO6.综上所述,ABO的面积为定值 6.思维升华 (1)动直线过定点问题的两大类型及解法动直线l过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为ykxt,由题设
5、条件将t用k表示为tmk,得yk(xm),故动直线过定点(m,0)动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点(2)求解定值问题的两大途径由特例得出一个值此值一般就是定值证明定值:将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值跟踪演练 2 (2018凯里市第一中学模拟)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点与曲线:12x24y23 的一个焦点相同,O为坐标原点,点M为抛物线C上任意一点,过点M作x轴的平行线交抛物线的准线于点P,直线OP
6、交抛物线于点N.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:直线MN过定点G,并求出此定点的坐标解 (1)由曲线:12x24y23,化为标准方程可得1,x2 1 4y2 3 4所以曲线:1 是焦点在x轴上的双曲线,x2 1 4y2 3 46其中a2 ,b2 ,故c2a2b21,1 43 4的焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0),因为抛物线的焦点坐标为(p0),(p 2,0)由题意知 1,所以p2,即抛物线的方程为y24x.p 2(2)由(1)知,抛物线y24x的准线方程为x1,设P,显然m0.(1,m)故M,从而直线OP的方程为ymx,(m2 4,m)联立直线OP与抛物线方程得Error!解得
7、N.(4 m2,4 m)当,即m2 时,直线MN的方程为x1;4 m2m2 4当,即m2 时,直线MN的方程为ym,4 m2m2 44m m24(xm2 4)整理得MN的方程为y(x1),4m m24此时直线恒过定点G(1,0),因为(1,0)也在直线MN的方程x1 上,故直线MN恒过定点G(1,0)热点三 探索性问题1解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用“肯定顺推法” ,将不确定性问题明确化其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否
8、则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例 3 已知圆C的圆心为原点,其半径与椭圆D:1 的左焦点和上顶点的连线线段x2 4y2 3长度相等(1)求圆C的标准方程;(2)过椭圆右焦点的动直线l2(其斜率不为 0)交圆C于A,B两点,试探究在x轴正半轴上是否存在定点E,使得直线AE与BE的斜率之和为 0?若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由7解 (1)由题意知,椭圆D:1 的左焦点的坐标为(1,0),上顶点的坐标为,x2 4y2 3(0, 3)故圆的半径r2,(10)2(0 3)2所以圆C的标准方程为x2y24.(2)假设存在符合条件的点E.设E
9、,A(x1,y1),B(x2,y2),(t,0)当直线l2的斜率存在时,设直线l2的方程为yk(x1)由Error!得x22k2xk240,0 显然成立(k21)所以x1x2,x1x2.2k2 k21k24 k21由kAEkBE0,得kAEkBE,所以0,y1 x1ty2 x2t即0,k(x11)x1tk(x21)x2t即 2x1x2(t1)(x1x2)2t0,即2t0,解得t4.2(k24)k212k2t1k21即E(4,0)当直线l2的斜率不存在时,直线l2的方程为x1,与圆C的交点坐标分别为(1,),3,由E(4,0)知满足kAEkBE0.(1, 3)所以当点E的坐标为(4,0)时,kA
10、EkBE0.思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径跟踪演练 3 (2018山东、湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为 4 的椭圆1(ab0)过点P,点F是椭圆的右焦点x2 a2y2 b2(1,3 2)(1)求椭圆方程;(2)在x轴上是否存在定点D,使得过D的直线l交椭圆于A,B两点设点E为点B关于x8轴的对称点,且A,F,E三点共线?若存在,求D点
11、坐标;若不存在,说明理由解 (1) 2a4, a2,将点P代入1,得b23.(1,3 2)x2 a2y2 b2椭圆方程为1.x2 4y2 3(2)存在定点D满足条件设D(t,0),直线l方程为xmyt(m0),联立Error!消去x,得(3m24)y26mty3t2120,设A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,y2),Error!且0.由A,F,E三点共线,可得(x21)y1(x11)y20,即 2my1y2(t1)(y1y2)0, 2m(t1)0,3t212 3m246mt 3m24解得t4,此时由0 得m24.存在定点D(4,0)满足条件,且m满足m24.9真题体验1(2017
12、全国改编)已知F为抛物线C:y24x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|DE|的最小值为_答案 16解析 因为F为y24x的焦点,所以F(1,0)由题意知,直线l1,l2的斜率均存在且不为 0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为 ,故直1 k线l1,l2的方程分别为yk(x1),y (x1)1 k由Error!得k2x2(2k24)xk20,16k2160.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x21,2k24 k2所以|AB|x1x2|1k21k2x1x224x1x21k2(2k24 k2)24.41k2
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