八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理例题与讲解素材 北师大版(2021-2022学年).pdf
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1、1 1探索勾股定理探索勾股定理1勾股定理的探索如图,在单位长度为 1 的方格纸中画一等腰直角三角形,然后向外作三个外正方形:观察图形可知:()各正方形的面积:正方形的面积S1为,正方形的面积为 1,正方形的面积S3为 2;()各正方形面积之间的关系:1S2S3;()由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是:两直角边的平方和等于斜边的平方【例 1】如图,RtC在单位长度为 1 的正方形网格中,它的外围是以它的三条边为边长的正方形.回答下列问题:(1)a=_,b=_,_;(2)a,b,c之间有什么关系?(用关系式表示)2分析:分析:a等于以C为边长的正方形的面积 1,b等于以A为边长的正方
2、形的面积 9,c等于以2AB为边长的正方形的面积 25解解:()92()a+c.释疑点释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时,可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDF(如图)中去,它的面积等于正方形EF的面积减去它外围的个小直角三角形的面积.222.勾股定理(1)勾股定理的有关概念:如图所示,我们用勾()和股()分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边(2)勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即:勾 股=弦。()勾股定理的表示方法:在 R中,C=90,A,B,C的对边分别为,b,c,则a+bc.辨误区辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理
3、的前提是直角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.(2)利用勾股定理时,必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其在记忆bc时,此关系式只有当c是斜边时才成立.若b是斜边,则关系式是a+b;若a是斜边,则关系式是ba(3)勾股定理有许多变形,如是斜边时,由abc,得a=cb,=ca等.熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助.【例 21】在B中,0,(1)若a3,则c_;(2)若a6,c=,则b_;(3)若ab=3,c5,则a=_,=_.解析解析:因为在ABC中,C90,所以有关系式ac。在此关系式中,涉及到三个量,利用方程的思想,可“知二求一.222222222222222222()
4、c=+b=3 4=5,则=5;(2)bc-=0 6=,则b;()若ab=34,可设a=3,b4x,于是(3x)(4x)5.化简,得+16x5,即 25x5,x1,=(x0).因此a3x,b=4x=4.答案答案:(1)5(2)8(3)3 4谈重点谈重点用勾股定理求边长这是一组关于勾股定理应用的计算题,由勾股定理可知,在直角三角形中只要已知两边长,就可以求出直角三角形第三边的长.【例 22】有一飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 40处,过了 2s,飞机距离这个男孩头顶 500 m,那么飞机每时飞行多少千米?分析分析:根据题意,可以先画出图形如图,在ABC中,C=9,A4 00
5、0 m,AB5 0 m。欲求飞机每时飞行多少千米,就须知道其 s 时间里飞行的路程,即图中CB的长.由于B的斜边AB5 0 m,AC=00 m,这样BC就可以通过勾股定理得出,这里一定要注意单位的换算.2222222222222解解:如图,A=5 000=5 k,C4 000m4 m,故由勾股定理得B=ABAC=5-4=9,即BC=3 km.300因为飞机 20飞行 3 k,所以它每小时飞行的距离为54(km).203.勾股定理的验证方法:用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为)构成如图所示的正方形.22由“大正方形的面积小正方形的面积4 个直角三角形的面积”,得(a)c4错误错误!未
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