(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题学案 文.doc
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1、1第第 3 3 讲讲 数列的综合问题数列的综合问题考情考向分析 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力热点一 利用Sn,an的关系式求an1数列an中,an与Sn的关系anError!2求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累
2、乘法an1 an求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列)例 1 已知等差数列an中,a22,a3a58,数列bn中,b12,其前n项和Sn满足:bn1Sn2(nN N*)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,求数列cn的前n项和Tn.an bn解 (1)a22,a3a58,2d23d8,d1,ann(nN N*)bn1Sn2(nN N*),bnSn12(nN N*,n2)由,得bn1bnSnSn1bn(nN N*,n2),bn12bn(nN N*,n2)b12,b22b1,2bn是首项为 2,公比为 2 的等比数列,bn2n(nN N*)(2)由c
3、n,an bnn 2n得Tn ,1 22 223 23n1 2n1n 2nTn,1 21 222 233 24n1 2nn 2n1两式相减,得Tn 1,1 21 21 221 2nn 2n12n 2n1Tn2(nN N*)n2 2n思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.跟踪演练 1 (2018绵阳诊断性考试)已知正项数列an的前n项和Sn满足:a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)令bnlog2,求数列bn的前n项和Tn.an 32解
4、(1)由已知a1anS1Sn,可得当n1 时,aa1a1,2 1解得a10 或a12,由an是正项数列,故a12.当n2 时,由已知可得 2an2Sn,2an12Sn1,两式相减得,2an,化简得an2an1,(anan1)数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故an2n.数列an的通项公式为an2n(nN N*)(2)bnlog2,代入an2n化简得bnn5,an 32显然bn是等差数列,其前n项和Tn(nN N*)n(4n5)2n29n 2热点二 数列与函数、不等式的综合问题3数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还
5、有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题例 2 设fn(x)xx2xn1,x0,nN N,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an),且 00,(2 3)(2 3)所以fn(x)在内至少存在一个零点,(0,2 3)又fn(x)12xnxn10,所以fn(x)在内单调递增,(0,2 3)因此fn(x)在内有且仅有一个零点an,(0,2 3)由于fn(x)1,xxn1 1x所以fn(an)10,anan1n 1an由此可得an a
6、 ,1 21 2n1n1 2故 0)(1)求A市 2019 年的碳排放总量(用含m的式子表示);(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围解 设 2018 年的碳排放总量为a1,2019 年的碳排放总量为a2,(1)由已知,a14000.9m,a20.9m(400 0.9m)4000.920.9mm3241.9m.(2)a30.9m(400 0.920.9mm)4000.930.92m0.9mm,an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm4000.9nm4000.9n10m10.9n 10.9(10.9n)0.9n10m.(40010m)由已知nN N*,an550,(1
7、)当 40010m0,即m40 时,显然满足题意;(2)当 40010m0,即m40 时,由指数函数的性质可得 10m550,解得m55,综合得 400,故当n4 时,f(n)递增又f(1)0.(3 2)该项目将从第 8 年开始并持续赢利答:该项目将从 2023 年开始并持续赢利方法二 设f(x)x2x7(x1),(3 2)则f(x)xln 2,(3 2)3 2令f(x)0,得x5,(3 2)2ln 322 ln 3ln 22 1.10.7x4.从而当x1,4)时,f(x)0,f(x)单调递增又f(1)0.(3 2)该项目将从第 8 年开始并持续赢利答:该项目将从 2023 年开始并持续赢利真
8、题体验1(2018全国)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1,则S6_.8答案 63解析 Sn2an1,当n2 时,Sn12an11,anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2)当n1 时,a1S12a11,得a11.数列an是首项a11,公比q2 的等比数列,Sn12n,a11qn1q112n12S612663.2(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1
9、,xxn1所围成的区域的面积Tn.解 (1)设数列xn的公比为q.由题意得Error!所以 3q25q20,由已知得q0,所以q2,x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1(nN N*)(2)过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1,记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn,由题意得bn2n1(2n1)2n2,nn12所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1,得9Tn321(2222n1)(2n1)2n1 (2n1)2n1.3 2212n112
10、所以Tn(nN N*)2n1 2n12押题预测已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1,k为不等于 0 的常数(1)试判断数列an是否为等比数列;(2)若a2 ,a31.1 2求数列an的通项公式及前n项和Sn的表达式;设bnlog2Sn,数列cn满足cnbn22nb,数列cn的前n项和为Tn,1 bn3bn4当n1 时,求使Tn0,因为nN N* *且n1,故n9,从而最小正整数n的值是 10.A 组 专题通关1(2018安徽省“皖南八校”联考)删去正整数数列 1,2,3, 中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个数列的第 2 018 项是( )A2 062 B2 063C2 064
11、 D2 065答案 B解析 由题意可得,这些数可以写为 12,2,3,22,5,6,7,8,32,第k个平方数与第k1个平方数之间有 2k个正整数,而数列 12,2,3,22,5,6,7,8,32,452共有 2 025 项,去掉45 个平方数后,还剩余 2 025451 980(个)数,所以去掉平方数后第 2 018 项应在 2 025 后的第 38 个数,即是原来数列的第 2 063 项,即为 2 063.2(2018百校联盟联考)已知数列an中,a17,an12an1,则a30等于( )an2A1 028 B1 026 C1 024 D1 022答案 D解析 因为an12an1,an2所
12、以an1an12,an2即an12an221,an211所以22,(an12)(an21)即1,an12an2故是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,an2所以3(n1)1n2,an2所以ann24n2,所以a301 022.3(2018商丘模拟)已知数列an满足a11,an1an2(nN N*),Sn为数列an的前n项和,则( )Aan2n1 BSnn2Can2n1 DSn2n1答案 B解析 由题意得a2a12,a3a22,a4a32,anan12,a2a1a3a2a4a3anan12(n1),ana12(n1),an2n1.a11,a23,a35,an2n1,a1a2a3an1352n1
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