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1、常见的求函数值域的方法常见的求函数值域的方法朱欢,广东省中山市第一中学,528400函数是中学数学的重要基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、导数与积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见题型下面就函数值域的求法举例说明 1直接法对于常见的基本初等函数,可以根据其性质直接求出其函数的值域一次函数的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为,值域为;二次函数的定义域为R,当时,值域为;当时,值域为【例1】(1)已知函数,则该函数的值域为_(2)求函数的最大值和最小值【解析】(1),因为所以当时,;当时,所以
2、所给函数的值域为4,8(2),对称轴为当时,由图可知, 当01时,由图可知,,当12时,由图可知, 当时,由图可知, 综上所述,当时,;当01时,,; 当12时,,;当时,【评注】二次函数在闭区间上的值域要同时考虑最大值和最小值,一般是通过讨论对称轴与区间的左右位置关系,来确定函数在区间上的大致图像,结合图像寻找函数的最高点与最低点,进一步确定最大值和最小值,一般需要分四种情况讨论,即2单调性法 【例2】已知函数,则该函数的值域是 【解析】此函数的定义域为,且是增函数,当时,函数的值域为【评注】函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减,这个时候可以利用单调性求函数的值域【变式】已知函数
3、,则该函数的值域是 【解析】函数在其定义域上是减函数,当时,故所求函数的值域是3分离常数法 【例3】求函数的值域【解析】,值域为【评注】形如可用分离常数法求值域,值域是;或的函数可用分离常数法求值域对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域,也常用分离常数法,将分子降次为一次式后求解若函数化为反比例型函数,由于,则直接知【变式】已知函数,则该函数的值域为 【解析】,值域是4换元法 【例4】已知函数,则该函数的值域是_【解析】令,则,所以,而函数在上是增函数,所以,当时,故所求函数的值域是5三角换元法 【例5】已知函数,则该函数的的值域是 【解析】, 可设,,,所给函数的值域为【评注】对于被开方数
4、含有平方的模式,可以利用三角函数知识进行三角换元,换元的目的是让式子中的根号去掉,简化式子,方便求解范围,常见的是利用平方关系换元, 其中换元后的范围的限定要以不影响的取值,运算方便为原则 【变式】已知函数则该函数的值域是 【解析】设,则,,即值域为 6有界性法【例6】求函数的值域【解析】由,得,即函数值域为(1,1【评注】在式中只出现或或或型,可以反解出,即用含的表达式来表述出或或或等,然后利用其范围得到关于的不等式,通过解不等式得到求其值域【变式】已知函数;则该函数的值域是 【解析】由,得,即函数值域为7平方法【例7】已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为 【解析】易知, 当时,取得最
5、大值 ,当时,取得最小值, 【评注】注意根式的结构特征,平方后根式外边的能抵消,根号里是一个二次函数,可用二次函数求出最值,或由用均值不等式求最大值,典型特征是两个根式被开方数之和为定值,如 【变式1】已知函数,则该函数的值域为_ 【解析】易知,,又,故函数的值域是 8判别式法【例8】求函数的值域【解析】恒成立,函数的定义域为由得: 当即时,即,当即时,时方程恒有实根,且,原函数的值域为【评注】原分式函数定义域是全体实数,即对任何实数x都是等式成立,等价于一元二次方程总有两个实数解,只需要判别式为非负数即可;特别应注意的是,关于的方程是类二次方程,只有一元二次方程在实数范围内有解,才能使用判别
6、式,这就是判别式法的基本原理 【变式】已知函数,则该函数的值域 【解析】:若有两个实数解,解得且若,符合题意 函数的值域是。9基本不等式法 【例9】(1)求函数的值域(2)若正数满足,则的取值范围是 【解析】(1)由,得,即或 所求函数的值域为(2)由,当且仅当,时取等号【评注】在求值域时若在式中出现这种类型或可化成这种类型的题目就可以用基本不等式求解利用基本不等式求解要做到:一正,二定,三相等【变式1】已知函数,则该函数的最小值为()A3B3 C4 D4【解析】,当且仅当即时取“号,选B 10分段讨论法【例10】已知函数,则该函数的值域为 【解析】,画出函数图象 ,如图所示值域为【变式】已知
7、函数,则该函数的值域是 【解析】 画出函数图象 ,可得值域为11导数法【例11】已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线l的方程为3xy10,在点x处yf(x)取得极值(1)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在区间3,1上的最大值和最小值【解析】(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb由f(1)3,可得2ab0由f()0,可得4a3b40由,解得a2,b4由于切点的横坐标为1,所以f(1)4,即1abc4,所以c5(2)由(1)可得f(x)x32x24x5,则f(x)3x24x4令f(x)0,得x12,x2当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:所以yf(x)在区间3,1上的最大值为13,最小值为【评注】求函数在上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值,;(3)将函数的极值与,比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值作者简介: 朱欢,广东省中山市第一中学,QQ:370784552,
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