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1、误差分析Error Analysisl误差的来源误差的来源l误差误差 误差限误差限 有效数字有效数字l相对误差和绝对误差相对误差和绝对误差l误差的传播误差的传播l在近似计算中需要注意的问题在近似计算中需要注意的问题目次目次l模型误差模型误差l观测误差观测误差l舍入误差舍入误差l截断误差截断误差1.1 误差的来源误差的来源计算机字长有限,一般实数不能精确存储,于是产计算机字长有限,一般实数不能精确存储,于是产生舍入误差。生舍入误差。例如:在例如:在10位十进制数限制下:位十进制数限制下:130.3333333333本应本应130.33333333331.0000022-1.000004=0本应本
2、应1.0000022-1.000004 =1.0000040000 04-1.000004 =0.0000000000 04 舍入误差舍入误差(Round-off Errors)舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中是否舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。能有效控制。1.1.2 截断误差截断误差(Truncation Error)用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。例如:例如:泰勒级数泰勒级数 零阶近似零阶近似:一阶近似一阶近似:二阶近似二阶近似:完全的泰勒级数完全的泰勒级数:余项余项(n(n阶近似阶近似):):介于介于 x
3、i and xi+1 x =xi+1-xi 余项:余项:Taylor Taylor 级数表示为级数表示为:截去的部分截去的部分 零阶近似零阶近似:截断误差截断误差:一阶近似一阶近似 Rn :零阶近似零阶近似 R Rn n :斜率斜率:1.2 误差误差 误差限误差限 有效数字有效数字Def1.1若用若用x*表示表示x准确值的一个近似值。则此准确值的一个近似值。则此近似值近似值x*和准确值和准确值x的差称为误差,用的差称为误差,用e*来表示来表示e*x*xDef1.2若若|e*|x*x|*称为近似值称为近似值x*的误差限。的误差限。例例1.2已知已知x*=3.14159,求近似值,求近似值x1=3
4、.14,x2=3.142,x3=3.1416的误差限。的误差限。解解所以误差限所以误差限1=0.002,2=0.0005,3=0.000008 有效数字有效数字Def1.3若用若用x的近似值的近似值x*的误差限是某一位上的的误差限是某一位上的半个单位,该位到半个单位,该位到x*的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n位,则位,则称称x*有有n位有效数字位有效数字若用若用x*表示表示x的近似值,并将的近似值,并将x*表示成表示成x*0.a1a2an10m若若|x*x|0.510mn则近似值则近似值x*有有n位有效数字位有效数字(1.1)例例1.3 设设x*=0.0270是某数是某数x经经“四舍
5、五入四舍五入”所得,所得,则误差则误差|e(x*)|不超过不超过x*末位的半个单位,即:末位的半个单位,即:|x*x|0.510-4 又又 x*=0.2710-1,故该不等式又可写为故该不等式又可写为|x*x|0.510-1-3由由有有效效数数字字定定义义可可知知,x*有有3 3位位有有效效数数字字,分分别别是是2,72,7,0 0。例例1.4 设设x32.93,x*32.89,则则|x*x|0.040.050.510-1即即|x*x|0.5102-3由由有有效效数数字字定定义义可可知知,x*有有3 3位位有有效效数数字字,分分别别是是3,2,83,2,8。由于由于x*中的数字中的数字9 9不
6、是有效数字,故不是有效数字,故x*不是有效数。不是有效数。1.3 相对误差和绝对误差相对误差和绝对误差设设 x准确值准确值 x*近似值近似值称称为近似值为近似值x*的相对误差的相对误差实用中,常用实用中,常用表示近似值表示近似值x*的相对误差,称的相对误差,称为相对误差限为相对误差限相应的,相应的,e*称称为绝对误差,为绝对误差,称为绝对误差称为绝对误差限限有效数位与误差的关系有效数位与误差的关系有效数位有效数位n n越多,则绝对误差越多,则绝对误差|e*|越小越小形如形如(1.1)式的式的近似数近似数x*具有具有n位有效数字,则位有效数字,则其相对误差限可取为其相对误差限可取为基本算术运算基
7、本算术运算设设x*和和y*分别是分别是x和和y的近似值,把它们的误差近似地看的近似值,把它们的误差近似地看做是相应地微分,即做是相应地微分,即dx x*x,dy y*y则则d(xy)dx dyd(xy)xdy ydxd(x/y)(xdyydx)/y21.4 误差传播误差传播(1.3)和和(1.4)给出了由自变量的误差引起的函数值给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式(误差传播)。的误差的近似式(误差传播)。一元函数一元函数设设yf(x),若若x的的近似值是近似值是x*,用用f(x*)去去近似近似f(x)的误的误差可用差可用Taylor公式估计公式估计(1.3)(1.4)多元函数情形多元
8、函数情形由多元函数的由多元函数的TaylorTaylor展开公式类似可得展开公式类似可得 (1.5)(1.6)(1.8)(1.9)例例1.5 测得某桌面的长测得某桌面的长a的近似值的近似值a*=120cm,宽宽b的的近似值近似值b*=60cm。若已知。若已知|e(a*)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm。试求近似面积试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。的绝对误差限与相对误差限。解解:面积面积s=ab,在公式在公式(1.5)中中,将将y=f(x1,x2)换为换为 s=ab,则则相对误差限为相对误差限为1.5 在近似计算中需要注意的问题在近似计算中需要注意的问题1.1.尽量简化
9、计算步骤,减少乘除运算的次数尽量简化计算步骤,减少乘除运算的次数 例如,计算多项式例如,计算多项式 通常运算的乘法次数为通常运算的乘法次数为 若采用递推算法若采用递推算法,则乘法次数仅为则乘法次数仅为n.n.又如又如 2.防止大数防止大数“吃掉吃掉”小数小数 当当|a|b|时,尽量避免时,尽量避免a+b。例如,假设计算机。例如,假设计算机 只能存放只能存放10位尾数的十进制数,则位尾数的十进制数,则108+0.04=1083.尽量避免相近数相减尽量避免相近数相减 例如,当例如,当x很大时,应很大时,应当当x x接近于接近于0 0时,应时,应 4.4.避免绝对值很小的数做分母避免绝对值很小的数做分母 当当|b|a|b|b|a|b|时,尽量避免时,尽量避免a+b a+b。例如,假设计算机。例如,假设计算机 只能存放只能存放1010位尾数的十进制数,则位尾数的十进制数,则3.3.尽量避免相近数相减尽量避免相近数相减 例如,当例如,当x x很大时,应很大时,应 ,当当x x接近于接近于0 0时,应时,应4.避免绝对值很小的数做分母避免绝对值很小的数做分母 当当|b|a|时,应尽量避免时,应尽量避免a/b 5.选用数值稳定性好的算法,以控制舍入误差高速选用数值稳定性好的算法,以控制舍入误差高速 增长增长
限制150内