(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案.doc
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1、1第第 3 3 讲讲 数列的综合问题数列的综合问题考情考向分析 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点,也是一个难点,主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等热点一 利用Sn,an的关系式求an1.数列an中,an与Sn的关系anError!2求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an
2、中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累乘法an1 an求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列)例 1 (2018浙江)已知等比数列an的公比q1,且a3a4a528,a42 是a3,a5的等差中项数列bn满足b11,数列(bn1bn)an的前n项和为 2n2n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式解 (1)由a42 是a3,a5的等差中项,得a3a52a44,所以a3a4a53a4428,解得a48.由a3a520,得 820,(q1 q)解得q2 或q .1 2因为q1,所以q2.(2)设cn(bn1bn)an,数列cn的前n项和
3、为Sn.由cnError!解得cn4n1(nN N*)2由(1)可得an2n1,所以bn1bn(4n1)n1,(1 2)故bnbn1(4n5)n2,n2,(1 2)bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)n2(4n9)(1 2)n37 3.(1 2)1 2设Tn37 112(4n5)n2,n2,1 2(1 2)(1 2)则Tn3 72(4n9)n2(4n5)n1,n2,1 21 2(1 2)(1 2)(1 2),得Tn34 424n2(4n5)n1,n2,1 21 2(1 2)(1 2)(1 2)因此Tn14(4n3)n2,n2.(1 2)又b11,所以bn15
4、(4n3)n2,n2,(1 2)当n1 时,b11 也满足上式,所以bn15(4n3)n2,nN N*.(1 2)思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.跟踪演练 1 已知数列an的前n项和Sn满足:a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)若an0,数列的前n项和为Tn,试问当n为何值时,Tn最小?并求出最小值log2an 32解 (1)由已知a1anS1Sn,可得当n1 时,aa1a1,解得a10 或a12,2 1当n2 时,由已知可得a
5、1an1S1Sn1,得a1an.(anan1)若a10,则an0,此时数列an的通项公式为an0.若a12,则 2an,化简得an2an1,(anan1)即此时数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故an2n(nN N*)综上所述,数列an的通项公式为an0 或an2n(nN N*)3(2)因为an0,故an2n.设bnlog2,则bnn5,显然bn是等差数列,an 32由n50,解得n5,所以当n4 或n5 时,Tn最小,最小值为T4T510.5(40)2热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,解决这类问题的关键在于利用
6、数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化例 2 已知函数f(x)ln(1x).x1x1x(1)若x0 时,f(x)0,求的最小值;(2)设数列an的通项an1 ,证明:a2nanln 2.1 21 31 n1 4n(1)解 由已知可得f(0)0,f(x)ln(1x),x1x1xf(x),且f(0)0.12xx21x2若0,则当x0 时,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)f(0)0,不合题意;若 00,f(x)单调递增,12 当 0f(0)0,不合题意;12 若 ,1 2则当x0 时,f(x)0 时,f(x)ln(1x),x2x22x令x ,则ln,1 n2n12nn1n1 nln,1 2
7、n12n1n1 nln,12n112n2n2 n1ln,12n212n3n3 n2,ln.122n11 4n2n 2n1以上各式两边分别相加可得1 2n12n112n112n212n212n3122n11 4nlnlnlnln,n1 nn2 n1n3 n22n 2n1即1 n11 n21 n31 2n11 2n1 4nlnlnln 2,(n1 nn2n1n3 n22n 2n1)2n na2nanln 2.1 4n思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限
8、制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练 2 设fn(x)xx2xn1,x0,nN N,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an),且 00,(2 3)2 31(2 3)n123(2 3)(2 3)所以fn(x)在内至少存在一个零点,(0,2 3)又fn(x)12xnxn10,所以fn(x)在内单调递增,(0,2 3)因此fn(x)在内有且仅有一个零点an,(0,2 3)由于fn(x)1,xxn1 1x所以fn(an)10,anan1n 1an由此可得an a ,故 0,nN N*)c an(1)证明:an1an1;(2)若对任意nN N*,都有a
9、nn1,证明:(c1 2)对于任意mN N*,当nm时,an(nm)am;c am7an.5n12证明 (1)因为c0,a11,所以an1anan(nN N*),c an下面用数学归纳法证明an1.当n1 时,a111;假设当nk时,ak1,则当nk1 时,ak1akak1.c ak所以当nN N*时,an1.所以an1an1.(2)由(1)知当nm时,anam1,所以an1anan,c anc am即an1an,累加得anam(nm)c amc am所以an(nm)am.c am若c ,当m时,1 28c22c12am1.(c1 2)8c22c122c 2c1所以时,n1(nm)am,矛盾1
10、amcmamc12c am(c1 2)c am所以c .1 2因为aa2ca2cc2a ,2n12nc2 a2n2n2n5 4累加得aa (n1),2n2 15 45n1 4所以an.5n128真题体验1(2018全国)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1,则S6_.答案 63解析 Sn2an1,当n2 时,Sn12an11,anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2)当n1 时,a1S12a11,得a11.数列an是首项a11,公比q2 的等比数列,Sn12n,a11qn1q112n12S612663.2(2017浙江)已知数列xn满足:x11,xnxn1ln(1xn1)
11、(nN N*)证明:当nN N*时,(1)00.当n1 时,x110.假设当nk(kN N*)时,xk0,那么当nk1 时,若xk10,则 00,因此xn0(nN N*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1,因此 00(x0),2x2x x1(1x)函数f(x)在0,)上单调递增,所以f(x)f(0)0,因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0,2n1故 2xn1xn(nN N*)xnxn1 2(3)因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1,所以xn.1 2n1由2xn1xn得xnxn1 2 20,1 xn11 2(1 xn1 2)所以 22n11 xn1 2(1 x
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