高等量子力学第一章希尔伯特空间优秀课件.ppt
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1、高等量子力学第一章希尔伯特空间第1页,本讲稿共49页1 矢量空间矢量空间1-1 定义定义1-2 正交性和模正交性和模1-3 基矢基矢1-4 子空间子空间1-5 右矢和左矢右矢和左矢主要内容:主要内容:第2页,本讲稿共49页1-1 矢量空间的定义矢量空间的定义 我们讨论的对象是很广泛的,可以是实数或复数,可以是有我们讨论的对象是很广泛的,可以是实数或复数,可以是有序的一组数,可以是有方向的线段,也可以是一种抽象的东西。序的一组数,可以是有方向的线段,也可以是一种抽象的东西。我们把这些通称之为我们把这些通称之为数学对象数学对象。同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时,就构成一同类的许多数学对
2、象满足下面所述的一系列要求时,就构成一个个矢量空间矢量空间;每一个对象称为空间的一个;每一个对象称为空间的一个元元,或称为,或称为矢量矢量。第3页,本讲稿共49页加法规则视不同对象可以不同,但一定要满足下列四个条件:加法规则视不同对象可以不同,但一定要满足下列四个条件:第4页,本讲稿共49页是实数时,空间称为在实数域上的矢量空间;是实数时,空间称为在实数域上的矢量空间;是复数时,空间称为在复数域上的矢量空间。是复数时,空间称为在复数域上的矢量空间。数乘要满足下列四个条件:数乘要满足下列四个条件:第5页,本讲稿共49页 在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积,所得的也是实数在实数域(复数域)上的
3、矢量空间中的内积,所得的也是实数(复数)。内积与两个因子的次序有关,内积规则要满足下列四个条(复数)。内积与两个因子的次序有关,内积规则要满足下列四个条件:件:第6页,本讲稿共49页在量子力学中所用到的空间,就是复数域上的希尔伯特空间。在量子力学中所用到的空间,就是复数域上的希尔伯特空间。第7页,本讲稿共49页下面我们举出矢量空间的一些简单性质。下面我们举出矢量空间的一些简单性质。(1)在矢量空间中,零矢量是唯一的。)在矢量空间中,零矢量是唯一的。第8页,本讲稿共49页(2)每个矢量的逆元是唯一的。)每个矢量的逆元是唯一的。第9页,本讲稿共49页第10页,本讲稿共49页第11页,本讲稿共49页
4、下面,讨论几个矢量空间的例子。下面,讨论几个矢量空间的例子。值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出这一空间之外。例如取值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出这一空间之外。例如取以下序列:以下序列:这个序列的每一项都在我们的空间中,但是当这个序列的每一项都在我们的空间中,但是当 的极限是的极限是e=2.7182818,这是一个无理数,不在有理数空间中。这是一个无理数,不在有理数空间中。第一个例子第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零,规定加法取数学对象为所有正负有理数和零,规定加法即为算术中的加法;规定数乘中的数即为算术中的加法;规定数乘中的数a也限于所有的有理数,也限于所有的有
5、理数,数乘即是算术中的乘法;最后规定内积为两个因子的算术数乘即是算术中的乘法;最后规定内积为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因为有理数相乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数,这个空间是封闭的,即所得加和相乘所得的都是有理数,这个空间是封闭的,即所得结果仍在空间之中。结果仍在空间之中。第12页,本讲稿共49页 第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引出的不同方向不同长短的线段的全体,即理论力学中位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则;数乘中的数是实数,以a数乘的结果是方向不变,长度乘以a;内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内
6、积空间。第13页,本讲稿共49页 第三个例子第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数,例如四个数,可以把它取数学对象为一组有次序的复数,例如四个数,可以把它们写成一个一列矩阵:们写成一个一列矩阵:加法,数乘和内积的定义分别为加法,数乘和内积的定义分别为这是一个复数域上的内积空间。这是一个复数域上的内积空间。如果内积定义为:如果内积定义为:4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml+4+3+2=空间是否仍然是一个内积空间?空间是否仍然是一个内积空间?第14页,本讲稿共49页这样的函数全体构成一个内积空间,平方可积的意思是这样的函数全体构成一个内积空间,平方可积的意思是第15页,本讲稿共4
7、9页1-2 正交性和模正交性和模下面我们证明两个与模有关的基本关系。下面我们证明两个与模有关的基本关系。第16页,本讲稿共49页Schwartz不等式:不等式:(1.1)证明:证明:即第17页,本讲稿共49页三角形不等式:三角形不等式:(1.2)于是得 第18页,本讲稿共49页1-3 基矢基矢1.线性无关线性无关 (1.3)对于无穷个矢量的集合,线性无关的定义可以推广为:在无穷个对于无穷个矢量的集合,线性无关的定义可以推广为:在无穷个矢量的集合中,若任意有限的子集合都是线性无关的,则整个集合就矢量的集合中,若任意有限的子集合都是线性无关的,则整个集合就是线性无关的。是线性无关的。第19页,本讲
8、稿共49页第20页,本讲稿共49页定理定理:在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的。的。证明证明:第21页,本讲稿共49页仍将是线性无关的。(1.4)第22页,本讲稿共49页(1.4)第23页,本讲稿共49页于是我们证明了只有一个可能,即m=n.因此,每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所含矢量的数目是相同的,这个数目称为矢量空间的维数维数。第24页,本讲稿共49页2、基矢、基矢 正交归一的完全集称为这个空间的一个正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组基矢组,或一组,或一组基矢基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。当然一个空
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- 高等 量子力学 第一章 希尔伯特空间 优秀 课件
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