中考数学二轮-一元二次方程组-专项培优含答案解析.pdf
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1、中考数学二轮 一元二次方程组 专项培优含答案解析 一、一元二次方程 1使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如,对于函数1yx,令 y=0,可得 x=1,我们就说 1 是函数1yx的零点 己知函数222(3)yxmxm(mm 为常数)(1)当m=0 时,求该函数的零点;(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;(3)设函数的两个零点分别为1x和2x,且121114xx,此时函数图象与 x 轴的交点分 别为 A、B(点 A 在点 B 左侧),点 M 在直线10yx上,当 MA+MB 最小时,求直线 AM的函数解析式【答案】(1)当m=0 时,该函数的零点为6和6(2)见解析,(3)AM
2、的解析式为112yx 【解析】【分析】(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将 m=0 代入 y=x2-2mx-2(m+3),然后令 y=0 即可解得函数的零点;(2)令 y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明 0 即可;(3)根据题中条件求出函数解析式进而求得 A、B 两点坐标,个、作点 B 关于直线 y=x-10的对称点 B,连接 AB,求出点 B的坐标即可求得当 MA+MB 最小时,直线 AM 的函数解析式【详解】(1)当m=0 时,该函数的零点为6和6 (2)令 y=0,得=无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根 即无论m取何值,该函数总有两个零点(3)依题意有
3、,由解得 函数的解析式为 令 y=0,解得 A(),B(4,0)作点 B 关于直线10yx的对称点 B,连结 AB,则 AB与直线10yx的交点就是满足条件的 M 点 易求得直线10yx与 x 轴、y 轴的交点分别为 C(10,0),D(0,10)连结 CB,则 BCD=45 BC=CB=6,BCD=BCD=45 BCB=90 即 B(106,)设直线 AB的解析式为ykxb,则 20106kbkb,解得112kb ,直线 AB的解析式为112yx,即 AM 的解析式为112yx 2已知关于 x 的方程 x2(2k+1)x+k2+10(1)若方程有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围;(2)
4、若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且 k2,求该矩形的对角线 L 的长【答案】(1)k34;(2)15.【解析】【分析】(1)根据关于 x 的方程 x2(2k1)xk210 有两个不相等的实数根,得出 0,再解不等式即可;(2)当 k=2 时,原方程 x2-5x+5=0,设方程的两根是 m、n,则矩形两邻边的长是 m、n,利用根与系数的关系得出 m+n=5,mn=5,则矩形的对角线长为22mn,利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】(1)方程 x2(2k1)xk210 有两个不相等的实数根,(2k1)241(k21)4k30,k34;(2)当 k2 时,原方程为 x25x50,设方
5、程的两个根为 m,n,mn5,mn5,矩形的对角线长为:222215mnmnmn.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等,一元二次方程根的情况与判别式 的关系:(1)0 时,方程有两个不相等的实数根;(2)=0 时,方程有两个相等的实数根;(3)0 时,方程没有实数根 3已知关于x的方程24832xnxn和223220 xnxn,是否存在这样的n值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0.【解析】【分析】在方程中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含 n 的式子表示出两个实数根的差的平
6、方,把方程分解因式,建立方程求 n,要注意 n 的值要使方程的根是整数.【详解】若存在 n 满足题意.设 x1,x2 是方程的两个根,则 x1+x2=2n,x1x2=324n,所以(x1-x2)2=4n2+3n+2,由方程得,(x+n-1)x-2(n+1)=0,若 4n2+3n+2=-n+1,解得 n=-12,但 1-n=32不是整数,舍.若 4n2+3n+2=2(n+2),解得 n=0 或 n=-14(舍),综上所述,n=0.4机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为 90kg,用油的重复利用率为 60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为 36kg,为了倡导低碳,
7、减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg,用油的重复利用率仍然为 60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少 1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为 89kg 时,用油的重复利用率为 61.6%润滑用油量为 80kg,用油量的重复利用率为多少?已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的
8、重复利用率是多少?【答案】(1)28(2)76%75,84%【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到 70kg,用油的重复利用率仍然为 60%,进而得出答案;(2)利用润滑用油量每减少 1kg,用油的重复利用率将增加 1.6%,进而求出答案;首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到 12kg,得出等式求出答案 试题解析:(1)根据题意可得:70(160%)=28(kg);(2)60%+1.6%(9080)=76%;设润滑用油量是 x 千克,则 x160%+1.6%(90 x)=12,整理得:x265x750=0,(x75)(x+10)=0,解得
9、:x1=75,x2=10(舍去),60%+1.6%(90 x)=84%,答:设备的润滑用油量是 75 千克,用油的重复利用率是 84%考点:一元二次方程的应用 5已知关于 x 的二次函数22(21)1yxkxk的图象与 x 轴有 2 个交点.(1)求 k 的取值范围;(2)若图象与 x 轴交点的横坐标为12,x x,且它们的倒数之和是32,求 k 的值.【答案】(1)k-34;(2)k=1【解析】试题分析:(1)根据交点得个数,让 y=0 判断出两个不相等的实数根,然后根据判别式=b2-4ac 的范围可求解出 k 的值;(2)利用 y=0 时的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系,可直接列式
10、求解可得到 k的值.试题解析:(1)二次函数 y=x2-(2k-1)x+k2+1 的图象与 x 轴有两交点,当 y=0 时,x2-(2k-1)x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 =b2-4ac=-(2k-1)2-41(k2+1)0 解得 k-34;(2)当 y=0 时,x2-(2k-1)x+k2+1=0 则 x1+x2=2k-1,x1x2=k2+1,=32,解得:k=-1 或 k=13(舍去),k=1 6图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:他用硬纸片做了两个三角形,分别为 ABC 和 DEF,其中 B=90,A=45,BC=,F=90,EDF=30,EF=2将 DEF的斜边 DE
11、 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将 DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中,D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)(1)请回答李晨的问题:若 CD=10,则 AD=;(2)如图 2,李晨同学连接 FC,编制了如下问题,请你回答:FCD 的最大度数为 ;当 FC AB 时,AD=;当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形,且 FC 为斜边时,AD=;FCD 的面积 s 的取值范围是 .【答案】(1)2;(2)60;.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质,求出 AC 的长,即可得到 AD 的长.(2)当点 E 与点 C 重合时
12、,FCD 的角度最大,据此求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H,应用等腰直角三角形的判定和性质,含 30 度角直角三角形的性质求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H,AD=x,应用含 30 度角直角三角形的性质把 FC 用 x 来表示,根据勾股定理列式求解.设 AD=x,把 FCD 的面积 s 表示为 x 的函数,根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围.试题解析:(1)B=90,A=45,BC=,AC=12.CD=10,AD=2.(2)F=90,EDF=30,DEF=60.当点 E 与点 C 重合时,FCD 的角度最大,FCD 的最大度数=DEF=60.如图,过点 F 作 FHA
13、C 于点 H,EDF=30,EF=2,DF=.DH=3,FH=.FC AB,A=45,FCH=45.HC=.DC=DH+HC=.AC=12,AD=.如图,过点 F 作 FHAC 于点 H,设 AD=x,由知 DH=3,FH=,则 HC=.在 Rt CFH 中,根据勾股定理,得.以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形,且 FC 为斜边,即,解得.设 AD=x,易知,即.而,当时,;当时,.FCD 的面积 s 的取值范围是.考点:1.面动平移问题;2.等腰直角三角形的判定和性质;3.平行的性质;4.含 30 度角直角三角形的性质;5.勾股定理;6.由实际问题列函数关系式;7.
14、求函数值.7将 m 看作已知量,分别写出当 0 xm 时,与之间的函数关系式;8按上述方案,一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示,那么,这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的?并求出的值.月份 用水量(吨)水费(元)四月 35 59.5 五月 80 151 【答案】9解方程:(x1)(x1)22x.【答案】x123,x223.【解析】试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.试题解析:(x1)(x1)22x x2-22x-1=0 a=1,b=-2 2,c=-1 =b2-4ac=8+4=120 x=242bbcaa=23 x123,x223.1
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