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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高二数学下第一次联考精选高二数学下第一次联考 4 4 月试题理月试题理(考试时间:120 分钟 总分:150 分)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分第第 I I 卷(选择题,共卷(选择题,共 6060 分)分)1 1、选择题:(本大题共选择题:(本大题共1212小题,每小题小题,每小题5 5分,共分,共6060分分. .在每小题给出的在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知复数满足,则( )z25)43(zizA B C Di 43i 43i 43i 432.有一
2、段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中( )( )f x0()0fx0xx( )f x3( )f xx0x (0)0f 0x 3( )f xxA大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误D结论正确3.已知,若,则( )3) 1, ,2( xa )9 y, , 1 (bba/A. B. C. , D.,1, 1yx21, 1yx31x6y61x3y4.已知函数,若,则实数的值为( )2)2()(xaexfx2)0( faA. B. C. D.21 2141415.设复数在复平面内对应的点为,则点关于虚轴对称的点为(
3、)20193iA AA B C D.) 1, 3() 1, 3() 1 , 3() 1 , 3(- 2 - / 116.已知,,15441544,833833,322322Rtata ta,88则( )taA、70B、68C、69D、717.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( )A假设三内角都不大于 60 度B假设三内角都大于 60 度C假设三内角至多有一个大于 60 度D假设三内角至多有两个大于 60 度8.在长方体中,已知,则异面直线与所成角的余弦值( )1111DCBAABCD4 ABAD31AABA1CB1A. B. C. D.259 25
4、953 539,则实数等于( )222 2dxxxm mA-1 B0 C1 D210.在直棱柱中,底面是等腰三角形,,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为( )111CBAABC 90ACB21AAED,1CCBA1EABDABDG1AAEDA. B. C. D.36 362 364 36511.函数的图象大致是( ) 222sin33,144xxf xxx A B C D 12已知函数,若,则正数的取值范围是( ) lnf xxax121212 12111,( ,1)(),|()()| |2x xxxf xf xxx a- 3 - / 11A B C D3 ,)
5、22,)5 ,)23,)第第 IIII 卷(非选择题,共卷(非选择题,共 9090 分)分)二、填空题:二、填空题:( (本大题本大题 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分。把答案填在答分。把答案填在答题卡相应位置题卡相应位置) )13. 1 1 31dxx14.已知(为虚数单位,),则 iibia5)21 ()(iRba,ba15.某节晚自习课堂上,小明向值班老师报告说:有同学在玩手机游戏,四名可疑同学被请到数学组办公室,四人陈述如下: 甲:我们四人都没有玩; 乙:我们四人中有人玩; 丙:乙和丁至少有一人没玩; 丁:我没有玩. 若四人中有两人说的是真话,有两人
6、说的是假话,则说真话的是 16.在平面几何中有如下结论:正三角形的内切圆面积为,外接圆面积为,则,推广到空间中可以得到类似结论:已知正四面体的内切球体积为,外接球体积为,则= ABC1S2S121 4S S PABC1V2V12V V三、解答题:三、解答题:( (本大题共本大题共 6 6 小题,共小题,共 7070 分,解答应写出文字说明、证分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤) )17.(本题满分 10 分)设为坐标原点,已知复数分别对应向量,为复数的共轭复数,其中,且为纯虚数O21,zz21,OZOZ1z1z- 4 - / 11)51,10(2 1aaOZ)2 , 5
7、2(2aaOZRa12zz ()判断复数在复平面上对应的点在第几象限;1z()求.21zz 18. (本题满分 12 分) 已知函数在处取得极值. 33( ,)f xxaxb a bR1x 1()求的值; , a b()求函数在处的切线方程.12)()(xexfxg1x19. (本题满分 12 分)如图,在中,点、分别在线段、上,且,将沿折起到的位置,使得二面角的大小为.ABCRt3 BCABEFABACBCEF /AEFEFPEFBEFP60()求证:;PBEF ()当时,求与平面所成角的正弦值.EBAE2PEPFC20(本题满分 12 分) “世界陶瓷之都”县,最有名的就是陶瓷了,然而德化
8、特产也是丰富多彩的。德化人用它们天然的色彩进行归类,变得像口诀一样好记,三黑“黑鸡、黑兔、黑羊”,三黄“德化梨、黄花菜、山茶油”,三白“大米、淮山、白萝卜”,三红“红米、红菇、红酒”。为了提高经济效益,某食品厂进行淮山的深加工,每公斤淮山的成本 20 元,并且每公斤淮山的加工费为元(为常数,且,设该食品厂每公斤淮山的出厂价为元(),销售量,且(为自然对数的底)。根据市场调查,当每公斤淮山的出厂价为 30 元时,日销售- 5 - / 11量为 100 公斤。t t)52 tx4025 xq(0,)xkqkkRee()求该工厂的每日利润元与每公斤淮山的出厂价元的函数关系式;yx()若,当每公斤淮山
9、的出厂价为多少元时,该工厂的利润最大,并求最大值5txy21. (本题满分 12 分)观察下列不等式: ,11111131, 11, 1,2232372111122315()请写出第五个不等式,你能归纳推理出第 n 个不等式的一般形式吗?()用数学归纳法证明你的推论.22. (本题满分 12 分)已知函数. 2ln2af xxaRx()讨论函数的单调性; f x()若,设函数有唯一零点,求的值.0a 2g xf xxaa参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,题号123456789101112答案CADDADBABBCA二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5
10、 分,共 20 分13. 0 14. -1 15. 乙和丙 16.271三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分17.(本题满分 10 分)解:()由题意,得,iaaz51102 1iaaz)2(522- 6 - / 11则.2 分iaaaazz)251()152(2 12因为为纯虚数,12zz 所以, .3 分025101522aaaa解得或.4 分5a3a又因为,所以,.5 分05 a3a所以 在复平面上对应的点在第四象限 .6 分1z()由()可知,iz8111iz12所以.8 分iiizz87 89)1 ()811 (218130 87 892221 zz .10 分18. (本题
11、满分 12 分)解:()由已知得 1 分 233fxxa因为函数在处取得极值 33( ,)f xxaxb a bR1x 1所以,即 4 分( 1)0 ( 1)1f f 330 1 31a ab 解得 6 分1 1a b - 7 - / 11经检验,当时,函数在处取得极值 7 分1,1ab 331f xxx1x 1()由()知,8 分13)(123xexxxg122233)(xexxg切线斜率 9 分egk2) 1 (又切点为3) 1 ( eg)3, 1 (e切线方程为,即 12 分) 1(23xeey032eyex19.(本题满分 12 分)证明:()3 BCABABBC /EFBCABEF
12、,翻折后垂直关系没变,仍有,AEEF BEEF PBEEF平面PBEF 4 分() ,二面角的平面角,5 分AEEF BEEF PEBPEFB60PEB,又,由余弦定理得,1, 2BEPE3PB222PEEBPB,两两垂直6 分EBPB EBBCPB,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图直角坐标系。BBCxBEy则),3, 0 , 0(P),0 , 0 , 3(C(0,1,0),E),0 , 1 , 2(F(0,1,3),(2,1,3)PEPF 8 分),3, 0 , 3(PC设平面的法向量PFC),(zyxn - 8 - / 11由可得10 分00PFnPCn)3, 1 , 1 (
13、n故与平面所成的角的正弦值为 12 分PEPFC5520. (本题满分 12 分)解:()设由已知得 2 分30 30100,100kkee日销量 3 分30100xeqe 6 分30100(20)(2540)xextyxe()当时, 7 分5txexey)25(100308 分30100(26)xexye ,026yx由得0y由得x2625 2626y 在,上单调递增,在,40 上单调递减.10 分11 分4 max100,26eyx时当当每公斤淮山的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大- 9 - / 11值为元 12 分4100e21.(本题满分 12 分)解:() 1 分25 3
14、11 41 31 211根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式,即一般不等式为:*1111()23212nnnN4 分()用数学归纳法证明如下:(1)当,猜想成立 5 分1112n 时,(2)假设当时,猜想成立,即, 6 分*(1,)nk kkN111123212kk则当时,1nk11111111112321221212221kkkkkkk11121 21222kkkkk, 即当时,猜想也正确, 11 分1nk由(1),(2)知对任意的,不等式都成立 12 分*nN22(本题满分 12 分)解:()由题可知函数为 f x0, 2 222()axa xfxxx1 分当时,在上恒成立0a 0
15、fx0,- 10 - / 11此时函数在上单调递增 2 分 f x0,当时,令,则或(舍去)0a 0fxxaxa 当时, 当时,0,xa 0fx,xa 0fx此时函数在上单调递减,在上单调递增 4 分 f x0,a,a ()由题可知, . 22 ln2g xxa xax 2222xaxagxx令,即, 0gx20xaxa因为,所以 (舍去), . 5 分0,0ax21402aaax224 2aaax当时,在上单调递减,20,xx 0gx g x20,x当时,在上单调递增, 6 分2,xx 0gx g x2,x 所以的最小值为. 7 分 g x 2g x因为函数有唯一零点,所以, 8 分 g x 20g x由即 9 分 220, 0,g x gx 2 222 2 22220, 0,xalnxax xaxa 可得,因为,所以,222 ln0a xaxa0a 222ln10 *xx 设函数,因为当时该函数是增函数,2ln1yxx0x - 11 - / 11所以至多有一解. 10 分0y 因为当时, 11 分1x 0y 所以方程的解为,即,解得. 12 分 *21x 2412aaa1 2a
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