无限脉冲响应数字滤波器设计.pptx
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1、图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 第2页/共150页第1页/共150页 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示:图6.1.2 低通滤波器的技术要求第3页/共150页第2页/共150页 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示,p和s分别定义为:(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1,(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成:(6.1.5)(6.1.6)第4页/共150页第3页/共150页 3.数字滤波器设计方法概述 II
2、R滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。第5页/共150页第4页/共150页6.2 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。第6页/共
3、150页第5页/共150页 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 第7页/共150页第6页/共150页 1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p,p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率,p是通带(=0p)中的最大衰减系数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,可表示成:(6.2.1)(6.2.2)第8页/共150页第7页/共150页 如果=0处幅度已归一化到1,即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率,因(6.2.3)(6.2.4)第9页/共150页第8页
4、/共150页图6.2.2 低通滤波器的幅度特性第10页/共150页第9页/共150页 滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此(6.2.5)第11页/共150页第10页/共150页 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示:(6.2.6)图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系第12页/共150页第11页/共150页 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数:(6.2.7)此式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示:(6.2.8)第13页/
5、共150页第12页/共150页图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布第14页/共150页第13页/共150页 为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为设N=3,极点有6个,它们分别为第15页/共150页第14页/共150页取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s):第16页/共150页第15页/共150页 由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化,归一化后的Ha(s)表示为 式中,s/c=j/c。令=/c,称为归一化频率;令p=j,p称为
6、归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)第17页/共150页第16页/共150页 式中,pk为归一化极点,用下式表示:将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式,得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式,用下式表示:(6.2.12)将=s代入(6.2.6)式中,再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中,得到:(6.2.14)(6.2.15)第18页/共150页第17页/共150页 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到:令,则N由下式表示:(6.2.16)第19页/共150页第18页/共150页 用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最
7、小整数。关于3dB截 止 频 率 c,如 果 技 术 指 标 中 没 有 给 出,可 以 按 照(6.2.14)式 或(6.2.15)式求出,由(6.2.14)式得到:由(6.2.15)式得到:(6.2.17)(6.2.18)第20页/共150页第19页/共150页 总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:(1)根据技术指标p,p,s和s,用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式,求出归一化极点pk,将pk代入(6.2.11)式,得到归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p),得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。第21页/共
8、150页第20页/共150页表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第22页/共150页第21页/共150页第23页/共150页第22页/共150页第24页/共150页第23页/共150页 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。第25页/共150页第24页/共150页 (2)按照(6.2.12)式,其极点为按照(6.2.11)式,归一化传输函数为第26页/共150页第25页/共150页 上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形
9、成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单,由N=5,直接查表得到:极点:-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第27页/共150页第26页/共150页 (3)为将Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率c。按照(6.2.17)式,得到:将c代入(6.2.18)式,得到:将p=s/c代入Ha(p)中得到:第28页/共150页第27页/共150页 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。
10、其幅度平方函数用A2()表示:(6.2.19)第29页/共150页第28页/共150页图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性 第30页/共150页第29页/共150页 式中,为小于1的正数,表示通带内幅度波动的程度,愈大,波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p,称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式,定义为第31页/共150页第30页/共150页当N=0时,C0(x)=1;当N=1时,C1(x)=x;当N=2时,C2(x)=2x 21;当N=3时,C3(x)=4x 33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)C N-1(x)(6.2
11、.20)第32页/共150页第31页/共150页 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见:(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内;(2)当|x|1时,|CN(x)|1,在|x|1时,CN(x)是双曲线函数,随x单调上升。第33页/共150页第32页/共150页图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线第34页/共150页第33页/共150页 按照(6.2.19)式,平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹用下式表示:(6.2.21)因此 (6.2.22)第35页/共150页第34页/共150页 图6.2.
12、7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线第36页/共150页第35页/共150页 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示,在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定:(6.2.23)令s=s/p,由s1,有(6.2.24)(6.2.25)可以解出 第37页/共150页第36页/共150页 3dB截止频率用c表示,按照(6.2.19)式,有通常取c1,因此上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:(6.2.26)第38页/共150页第37页/共150页 以 上 p,和 N确 定 后,可 以 求 出 滤 波 器 的 极 点,并 确 定 Ha(p),p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面
13、仅介绍一些有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:(6.2.23)令s=s/p,由s1,有(6.2.24)(6.2.25)第39页/共150页第38页/共150页 上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:(6.2.26)设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:(6.2.27)式中(6.2.28)第40页/共150页第39页/共150页 (6.2.28)式是一个椭圆方程,长半轴为pch(在虚轴上),短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴,可推导出:(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)第41页/共150页第40页/共150页图6.2.
14、8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布第42页/共150页第41页/共150页 设N=3,平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定,用左半平面的极点构成Ha(p),即(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出:c=2 N-1,代入(6.2.32)式,得到归一化的传输函数为(6.2.33a)第43页/共150页第42页/共150页 按照以上分析,下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1)确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数,s是=s时的衰减系数,它们为 去归一化后的传输函数为(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)第44页/共1
15、50页第43页/共150页 这里p就是前面定义的通带波纹,见(6.2.21)式。归一化频率 2)求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式,得到:第45页/共150页第44页/共150页 将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式,得到:令(6.2.36)(6.2.37)第46页/共150页第45页/共150页 这样,先由(6.2.36)式求出k-11,代入(6.2.37)式,求出阶数N,最后取大于等于N的最小整数。按照(6.2.22)式求,这里p=。+2=10 0.11 3)求归一化传输函数Ha(p)为求Ha(p),先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。第
16、47页/共150页第46页/共150页 将极点pk代入(6.2.33)式,得到:4)将Ha(p)去归一化,得到实际的Ha(s),即(6.2.38)(6.2.39)第48页/共150页第47页/共150页 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器,要求通带截止频率fp=3kHz,通 带 最 大 衰 减 p=0.1dB,阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz,阻 带 最 小 衰 减s=60dB。解 (1)滤波器的技术要求:第49页/共150页第48页/共150页 (2)求阶数N和:第50页/共150页第49页/共150页 (3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi,代入上式,得到:
17、(4)将Ha(p)去归一化,得到:第51页/共150页第50页/共150页 4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆,先规定一些符号如下:1)低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式,如果已知低通G(j),高通H(j)则用下式转换:(6.2.41)(6.2.40)第52页/共150页第51页/共150页图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性第53页/共150页第52页/共150页 模拟高通滤波器的设计步骤如下:(1)确定高通滤波器的技术指标:通带下限频率p,阻带上限频率s,通带最大衰减p,阻带最小衰减s。(2)确定相应低通滤波器
18、的设计指标:按照(6.2.40)式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率,各项设计指标为:低通滤波器通带截止频率p=1/p;低通滤波器阻带截止频率s=1/s;通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减仍为s。第54页/共150页第53页/共150页 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式,转换成归一化高通H(q),为去归一化,将q=s/c代入H(q)中,得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为3dB,阻带最小衰减s=15dB。(6.2.42)第55页/共150页第54页/
19、共150页 解 高通技术要求:fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率低通技术要求:第56页/共150页第55页/共150页 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器,故第57页/共150页第56页/共150页 求模拟高通H(s):2)低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。第58页/共150页第57页/共150页图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表6.2.2 与的对应关系 第59页/共150页第58页/共150页 由与的对应关系,得到:由表6.2.2知p对应u,代入上式中,有 (6.2.43)式称为低通到带通的频率变换
20、公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 第60页/共150页第59页/共150页 将(6.2.43)式代入上式,得到:将q=j代入上式,得到:为去归一化,将q=s/B代入上式,得到:(6.2.44)(6.2.45)第61页/共150页第60页/共150页上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标,即:带通上限频率u,带通下限频率l下阻带上限频率 s1,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu,通带宽度B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下:第62页/共150页第
21、61页/共150页 (2)确定归一化低通技术要求:s与-s的绝对值可能不相等,一般取绝对值小的s,这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减亦为s。(3)设计归一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。第63页/共150页第62页/共150页 例6.2.4 设计模拟带通滤波器,通带带宽B=2200rad/s,中心频率0=21000rad/s,通带内最大衰减p=3dB,阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求:0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad
22、/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6第64页/共150页第63页/共150页 (2)模拟归一化低通技术要求:取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p):采用巴特沃斯型,有第65页/共150页第64页/共150页 取N=3,查表6.2.1,得(4)求模拟带通H(s):第66页/共150页第65页/共150页 3)低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性第67页/共150页第66页/共150页 图中,l和u分别是下通带截
23、止频率和上通带截止频率,s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率,0为阻带中心频率,20=ul,阻带带宽B=ul,B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul 表6.2.3 与的对应关系 第68页/共150页第67页/共150页 根据与的对应关系,可得到:且ul=1,p=1,(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j,并去归一化,可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)第69页/共150页第68页/共150页下面总结设计带阻滤波
24、器的步骤:(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求,即:下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带下限频率s1,阻带上限频率s2阻带中心频率+20=ul,阻带宽度B=ul它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。第70页/共150页第69页/共150页 (2)确定归一化模拟低通技术要求,即:取s和s的绝对值较小的s;通带最大衰减为p,阻带最小衰减为s。(3)设计归一化模拟低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。第71页/共150页第70页/共150页 例6.2.5 设计模拟带
25、阻滤波器,其技术要求为:l=2905rad/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解 (1)模拟带阻滤波器的技术要求:l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=ul=2200;第72页/共150页第71页/共150页 l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25 (2)归一化低通的技术要求:(3)设计归一化低通滤波器G(p):第73页/共150页第72页/共150页 (4)带阻滤波
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