二元关系-优秀PPT.ppt
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1、二元关系二元关系-第1页,本讲稿共28页6.4 6.4 关系的性质关系的性质-重点重点 本本节节涉涉及及到到的的关关系系,如如无无特特别别声声明明,都都是是假假定定其其前前域域和和后后域域相相同同。即即都都为为定定义义在在集集合合A A上上的的关关系系,且且A A是是非非空空集集合合。对对于于前前后后域域不不相相同同的的关关系系,其其性性质无法加以定义。质无法加以定义。6.4.1 6.4.1 关系性质的定义关系性质的定义1.1.关系性质的定义关系性质的定义第2页,本讲稿共28页定义定义6.4.1-36.4.1-3设设R R是集合是集合A A上的关系,上的关系,1.1.如如果果对对任任意意xxA
2、 A,都都有有R R,那那么么称称R R在在A A上上是是自自反反的的,或或称称R R具有具有自反性自反性.2.2.如果对任意如果对任意xAxA,都有,都有 R R,那么称,那么称R R在在A A上是上是反自反自 反的反的,或称,或称R R具有具有反自反性反自反性。3.3.对对任任意意x,yAx,yA,如如果果RR,那那么么 RR,则则称称关关系系R R是是对对称的称的,或称,或称R R具有具有对称性对称性;4.4.对对任任意意x,yAx,yA,如如果果RR且且RR,那那么么x xy y(或或者者,若若xy,xy,则则 与与不不全全属属于于R R),则则称称关关系系R R是是反反对对称称的的,
3、或称或称R R具有具有反对称性反对称性。5.5.对任意对任意x,y,zAx,y,zA,如果,如果RR且且RR,那么,那么RR,则称关系,则称关系R R是是传递的传递的,或称,或称R R具有具有传递性传递性。第3页,本讲稿共28页例例1 1:1.1.整数集整数集I I上的上的“等于等于”关系是自反的、反对称的、对称的、关系是自反的、反对称的、对称的、传递的关系。传递的关系。“小于等于小于等于”关系是自反的、反对称的、传递的关系;关系是自反的、反对称的、传递的关系;“小于小于”关系是反自反的、反对称的、传递的关系关系是反自反的、反对称的、传递的关系。2.2.幂集上的幂集上的“包含包含”关系关系是自
4、反的、反对称的、传递的关系关系关系是自反的、反对称的、传递的关系。3.3.命命题题公公式式集集合合上上的的蕴蕴涵涵关关系系“”具具有有自自反反性性、反反对对称称性性和和传传递递性。性。4.4.三角形的相似关系具有三角形的相似关系具有自反自反性、对称性和传递性。性、对称性和传递性。5.5.人的集合上的人的集合上的朋友关系朋友关系具有具有自反自反性和性和对称对称性性;父子关系父子关系具有反具有反自反自反性和性和反对称性反对称性.第4页,本讲稿共28页例例2:设设A是任意的是任意的非空集合,则非空集合,则 A上的全关系上的全关系AA是是 自反的、对称的、传递的关系;自反的、对称的、传递的关系;A上的
5、空关系上的空关系是是 反自反的、反对称的、对称的、传反自反的、反对称的、对称的、传 递的关系;递的关系;A上的恒等关系上的恒等关系IA是是 自反的、对称的、反对称的、传自反的、对称的、反对称的、传 递的关系。递的关系。例例3 3:设设A=1,2,3A=1,2,3,A A上的关系:上的关系:(1 1)R=,R=,则则 R R是自反的是自反的,反对称的反对称的,传递的传递的.(2 2)S=,S=,则则 S S是反自反的是反自反的,对称的对称的.第5页,本讲稿共28页(3 3)U=,U=,则则 U U 是是对称的对称的,反对称的反对称的,传递的传递的.(4 4)V=,V=,则则 V V 是反对称的是
6、反对称的,传递的传递的.(5 5)T=,T=,则则 T 5T 5个性质都没有个性质都没有.2 2.“.“性质性质”在关系图和关系矩阵上的反应在关系图和关系矩阵上的反应(1 1)关系关系R R是自反的是自反的 关系图中关系图中每个节点都有环每个节点都有环 关系矩阵的主对角线上的元素全为关系矩阵的主对角线上的元素全为1 1(2 2)关系关系R R是反自反的是反自反的 关系图中关系图中每个节点都无环每个节点都无环 关系矩阵的主对角线上的元素全为关系矩阵的主对角线上的元素全为0 0第6页,本讲稿共28页(3)关关系系R是是对对称称的的 关关系系图图中中任任何何一一对对结结点点之之间间,要要么么有有方方
7、向向相相反反的的两两条条边边,要要么么无无边边 关关系系矩矩阵阵为为对对称称矩矩阵阵(4)关关系系R是是反反对对称称的的 关关系系图图中中任任何何一一对对结结点点之之间间,至至多有一条边;多有一条边;R的关系矩阵满足的关系矩阵满足 rijrji0,i,j=1,2,n,ij。(5)关关系系R是是传传递递的的 图图中中,任任何何三三个个节节点点x,y,z(x,y,z(可可以以相相同同)之之间间,若若从从x x到到y y有有一一条条边边存存在在,从从y y到到z z有有一一条条边边存存在在,则从则从x x到到z z一定有一条边存在一定有一条边存在.关系矩阵中关系矩阵中,如果如果r rijij1 1且
8、且r rjkjk1,1,则则r rikik1 1第7页,本讲稿共28页有有:反自反性和反对称性反自反性和反对称性132有有:反自反性和反对称性反自反性和反对称性有有:自自反反性性,反反对对称称性和性和传递性传递性312例例 A=1,2,3A=1,2,3上关系上关系:第8页,本讲稿共28页设设A Aa,b,c,a,b,c,试判断如下图所示试判断如下图所示A A上关系的性质:上关系的性质:例例a ab bc c(a(a)a ab bc c(b(b)a ab bc c(c(c)a ab bc c(d(d)a ab bc c(e(e)a ab bc c(f(f)a ab bc c(g(g)a ab b
9、c c(h(h)图图(a)(a)的关系是自反的、对的关系是自反的、对称的、反对称的、传递的关称的、反对称的、传递的关系系图图(b)(b)的关系是具备反自反的关系是具备反自反的、对称的、反对称的、的、对称的、反对称的、传递的关系传递的关系图图(c)(c)的关系是具备对称的、的关系是具备对称的、反对称的、传递的关系反对称的、传递的关系图图(d)(d)的关系是不具备任何的关系是不具备任何的性质关系的性质关系图图(e)(e)的关系是具备自反的、的关系是具备自反的、对称的、传递的关系对称的、传递的关系图图(f)(f)的关系是具备反自反的、的关系是具备反自反的、反对称的、传递的关系反对称的、传递的关系图图
10、(g)(g)的关系是具备反自反的、的关系是具备反自反的、反对称的关系反对称的关系图图(h)(h)的关系是具备反自反的、的关系是具备反自反的、反对称的、传递的关系反对称的、传递的关系第9页,本讲稿共28页注注:(3)(3)存在既是对称也是反对称的关系;存在既是对称也是反对称的关系;(1)非空集合非空集合A上的关系上的关系,若有自反性若有自反性,则一定没有反自反则一定没有反自反性性;反知反知,若有反自反性若有反自反性,则一定没有自反性则一定没有自反性;(2)存在既不是对称也不是反对称的关系;存在既不是对称也不是反对称的关系;(4)(4)非空集合非空集合A A上的上的空关系空关系具有反自反性、对称性
11、、具有反自反性、对称性、反对称性和传递性;反对称性和传递性;(5)(5)空空集上的集上的空关系空关系5 5个性质都具有个性质都具有.第10页,本讲稿共28页总结总结自反 反自反对称反对称传递定义RRRRRRx=yRRR关系图每个结点都有环每个结点都无环每 对 结 点间或 有 方 向相反的两条边,或无任何边每对结点间至多有一条边存在任三个结点x,y,z,若从x到y有边,从y到z有边,则从x到z一定有边关系矩阵对角线上全为1对角线上全为0对称矩阵rijrji=0,i,j=1,2,n,ij如rij1且rjk1则rik1第11页,本讲稿共28页2.2.反自反反自反关系性质的证明方法关系性质的证明方法1
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