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1、- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-28-2 空空间几何体的表面积体积学案理间几何体的表面积体积学案理考纲展示 1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积,了解计算公式2会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接” “切”问题考点 1 几何体的表面积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积圆柱S侧_圆锥S侧_圆台S侧(r1r2)l直棱柱S侧_正棱锥S侧_正棱台S侧 (cc)h1 2球S球面_答案:2rh rl Ch Ch 4R22几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面
2、展开图分别是_、_、_;它们的表面积等于_与底面面积之和答案:(1)各面面积之和 (2)矩形 扇形 扇环 侧面积侧面展开图:关注展开图的形状- 2 - / 12(1)若圆锥的底面半径为 1,高为,则圆锥的侧面积等于_答案:2解析:圆锥的母线长为2,故所求侧面积 S222.(2)圆台的上下底面圆的半径分别为 1,2,高为 1,则圆台的侧面积等于_答案:3解析:圆台的母线长为,所以所求侧面积 S(12)3.典题 1 (1)2017湖北七校联考如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1 中,AB1,AA12,点 P 是平面 A1B1C1D1 内的一个动点,则三棱锥 PABC 的正视图与俯视图的面积之比
3、的最大值为( )A1 B2 C. D.1 4答案 B解析 由题意知,三棱锥 PABC 的正视图是一个底为 1,高为2 的三角形,其面积为 1,而当 P 在底面 ABCD 内的投影在ABC 的内部或边界上时,其俯视图的面积最小,最小值为,此时,三棱锥PABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为 2.故选 B.(2) 2015新课标全国卷圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620,则 r( )A1 B2C4 D8答案 B- 3 - / 12解析 如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆
4、柱的底面半径为 r,高为 2r,则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又 S1620, (54)r21620, r24,r2,故选 B.点石成金 求解几何体面积的常见策略(1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.2017安徽江南十校联考某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表
5、面积为( )A4164 B51643C4162 D51623答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为 24216,两个底面面积之和为 222;半圆柱的侧面积为 44,两个底面面积之和为 212,所以几何体的表面积为 5162,故选D.2一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个几何体- 4 - / 12的表面积为_答案:33解析:这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知,圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2,高为,母线长为 2,几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体的表面
6、积为S1222(12)2(24)3.考点 2 几何体的体积体积圆柱V_r2h圆锥V_ r2h r21 31 3l2r2圆台V (S上S下)h1 3S上S下 (rrr1r2)h 1 32 12 2直棱柱V_正棱锥V_正棱台V (S上S下)h1 3S上S下球V R34 3答案:Sh Sh Sh Sh 空间几何体表面积和体积的求解:公式法(1)圆柱的底面半径为 1,高为 2,若该圆柱内接于球 O,则球 O的表面积是_答案:12解析:过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面,在该截面图中,易求得球 O 的半径 R,所以球 O 的表面积 S4R212.(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,已知直四棱柱的底面是-
7、 5 - / 12正方形,其所有棱长之和为 12,表面积为 6,则其体积为_答案:1解析:设该直四棱柱的底面边长为 a,高为 b,则有即解得Error!角度一以三视图为背景的几何体的体积典题 2 (1)2017河北石家庄一模某几何体的三视图如图所示,图中网格小正方形边长为 1,则该几何体的体积是( )A4 B. C. D12答案 B解析 由三视图可得,该几何体是一个五面体 ABHGEF(如图),长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB4,BC2,CC12,D1EFC1DGHC1,连接 AF,AH,则该几何体的体积是 VAEFHGVFABH222422.(2)一个几何体的三视图如图所示,则它的
8、体积为( )A. B. C20 D40答案 B解析 由几何体的三视图可知,该空间几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示其体积为(14)44.角度二求几何体的体积典题 3 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且ADE,BCF 均为正三角形,EFAB,EF2,则该多面- 6 - / 12体的体积为( )A. B. C. D.3 2答案 A解析 如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接DG,CH,容易求得 EGHF,AGGDBHHC,SAGDSBHC1,VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选 A.点石成金
9、 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解考点 3 与球有关的切、接问题几个与球有关的切、接常用结论- 7 - / 12a正方体的棱长为 a,球的半径为 R,若球为正方体的外接球,则 2Ra;若球为正方体的内切球,则 2Ra;若球与正方体的各棱相切,则 2Ra.b若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R
10、.c正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.典题 4 (1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC2,则此棱锥的体积为( )B. A. D.C. 22答案 A解析 设ABC 外接圆的圆心为 O1,则|OO1|.三棱锥 SABC 的高为 2|OO1|.所以三棱锥 SABC 的体积 V.故选 A.(2)2017辽宁抚顺模拟已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB3,AC4,ABAC,AA112,则球 O的半径为( )B2A. 10D3C. 10答案 C解析 如图所示,由球心作
11、平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M.又 AMBC,OMAA16,- 8 - / 12所以球 O 的半径 ROA .题点发散 1 本例(2)若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解:由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为 R,内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4,故其体对角线长为 4,从而 V 外接球R3(2)332,V 内切球r323.题点发散 2 本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体” ,则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少?解:设
12、正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为S14a2a2,其内切球半径 r 为正四面体高的,即 raa,因此内切球表面积为 S24r2,则.题点发散 3 本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥” ,则其外接球的半径是多少?解:依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为 36,高为 3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为 3.点石成金 1.正方体的内切球的直径为棱长,外接球的直径为正方体的体对角线的长此问题也适合长方体,或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥2直棱柱外接球的球心到直棱柱底面
13、的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形,解三角形即可求球的半- 9 - / 12径3若正四面体的高为 h,其内切球的半径为 r,外接球的半径为R,则 rh,Rh.4球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题5球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心,或“切点” “接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题.2017江西师大附中模拟已知边长为 2 的菱形 ABCD 中,BAD60,沿对角线 BD 折成二面角 ABDC 的大小为 120的四面体,则四面体的外接球的表面积为_答案:28解析:如图,取 BD 的中点 E,连接 AE,CE.由已知条件可知,平面 ACE平面 B
14、CD.易知外接球球心在平面 ACE 内,如图,在 CE上取点 G.使 CG2GE,过点 G 作 l1 垂直于 CE,过点 E 作 l2 垂直于AC,设 l1 与 l2 交于点 O,连接 OA,OC,则 OAOC,易知 O 即为球心分别解OCG,EGO,可得 ROC,外接球的表面积为 28.真题演练集训 12016新课标全国卷在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC,AB6,BC8,AA13,则 V 的最大值是( )B. A4 D.C6 32 3答案:B解析:由题意可得,若 V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切,- 10 - / 12若与三个侧面都相切,可求得球
15、的半径为 2,球的直径为 4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径 R,该球的体积最大,VmaxR3.22015安徽卷一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )B2A1 3D2C12 2答案:B解析:根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面 ABD底面 BCD,另两个侧面 ABC,ACD 为等边三角形,则有 S 表面积2212()22.故选 B.32014新课标全国卷如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来
16、毛坯体积的比值为( )B. A. D.C. 1 3答案:C解析:原毛坯的体积 V(32)654,由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体,其体积 VV1V2(22)4(32)234,故所求比值为 1.42014湖南卷一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )B2 A1 - 11 - / 12D4C3 答案:B解析:该几何体为直三棱柱,底面是边长分别为 6,8,10 的直角三角形,侧棱长为 12,故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径,其半径为 r2,故选 B.课外拓展阅读 空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题
17、,是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题典例 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB3,BC4,CC15,则沿着长方体表面从 A 到 C1 的最短路线长为_审题视角 将此长方体沿某一条侧棱剪开,得到展开图,求展开图中 AC1 的平面距离即可,注意对不同情况的讨论解析 在长方体的表面上从 A 到 C1 有三种不同的展开图(1)将平面 ADD1A1 绕着 A1D1 折起,得到的平面图形如图所示则 AB1538,B1C14,连接 AC1,在 RtAB1C1 中,AC14.(2)将平面 ABB1A1 绕着 A1B1 折起,得到的平面图形如图所示则 BC1549,AB3,连接 AC1,在 RtABC1 中,AC13.(3)将平面 ADD1A1 绕着 DD1 折起,得到的平面图形如图所示则 AC437,CC15,连接 AC1,在 RtACC1 中,- 12 - / 12AC1.显然43,故沿着长方体表面从 A 到 C1 的最短路线长为.答案 74反思提升将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法,对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上,将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开,这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题,结合问题的具体情况在平面上求解最值即可
限制150内