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1、1 1 球面和旋转面球面和旋转面 第1页/共19页1.1 球面的普通方程球面的普通方程 其中,(3.1)展开得(3.2)球心为 ,半径为 的球面的方程.(3.2)式没有交叉项,平方项系数相同,反之,形如(3.2)的方程在 时表示一个球面,时表示一个点,而 时表示虚球面。第2页/共19页1.2 球面的参数方程,点的球面坐球面的参数方程,点的球面坐标标 1.1.如果球心在原点,半径为 ,在球面上任取一点 ,从 作 面的垂线,垂足为 ,连 .设 轴到 的角度为 ,到 的角度为 第3页/共19页(3.3)(3.3)称为球心在原点,半径为 的球面的参参数方程数方程,有两个参数 其中 称为经度,称为纬度.
2、2.2.除z z轴外,空间中的任一点都可由有序三元组 唯一确定,我们称该三元组为空间中点的球面坐标(或空间极坐标)第4页/共19页1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程曲面和曲线的普通方程、参数方程 1.1.从球面的普通方程(3.2)和参数方程(3.3)可看到,一般来说,曲面的普通方程是一个三元方程 .曲面的参数方程是含两个参数的方程:其中,对于 的每一对值,由(3.5)确定的点 在此曲面上;而此曲面上任一点的坐标都可以由 的某一对值通过(3.5)表示.于是通过曲面的参数方程(3.5),曲面上的点(可能要除去个别点)便可以由数对 来确定,因此 称为曲面上点的曲纹曲纹坐标坐标.第5页/共19页
3、2.2.空间中曲线的普通方程可表为两个三元方程的联立方程组:即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线.曲线的参数方程是含有一个参数的方程:第6页/共19页 3.3.例 球面 与 平面相交所得的圆的普通方程为 而这个圆的参数方程是:第7页/共19页1.4 旋转面旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面.现在来研究更一般的情形.1.1.定义3.1 一条曲线 绕一条直线 旋转所得的曲面称为旋旋转面转面.称为轴轴,称为母线母线.母线 上每个点 绕 旋转一周得到一个圆,称为纬圆纬圆,它与轴l垂直。过轴的半平面与旋转面的交线称为经线经线(或子午线子午线).经线可以是母线,但母线不一定是经线
4、。第8页/共19页2.2.设轴 过点 ,方向向量为 ,母线 的方程为:求旋转面的方程.点 在旋转面上的充分必要条件是 在经过母线 上某一点 的纬圆上(如图3.2).第9页/共19页因此有:从这个方程组中消去参数 ,就得到 的方程,它就是所求旋转面的方程.第10页/共19页 3.现在设旋转轴为 轴,母线 在 平面上,方程为:则点 在旋转面上的充分必要条件是:消去参数 ,得 第11页/共19页这个曲面称为旋转抛物面旋转抛物面(如图3.3).绕 轴旋转所得旋转面方程为 4.4.例3.1 母线 第12页/共19页5.5.例3.2 母线 绕 x x 轴旋转所得曲面的方程为 这个曲面称为旋转双叶双曲面旋转
5、双叶双曲面(如图3.4).绕y y 轴旋转所得曲面的方程为 这个曲面称为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面(如图3.5).第13页/共19页第14页/共19页6.6.例3.3 圆 绕z z轴旋转所得曲面为 即 这个曲面称为环面环面(如图3.6).第15页/共19页7.7.例3.4 设 和 是两条异面直线,它们不垂直.求 绕 旋转所得曲面的方程.解 设 和 的距离为 .以 为z轴,以 和 的公垂线为x x轴,并且设 与轴x x的交点为 ,建立一个右手直角坐标系.设 的方向向量为 ,因为 与x x轴垂直,所以 ,得 .因为 异面 ,所以 ,于是 .因此可设v v 的坐标为 .因为 与 不垂直,所以 .于是 .第16页/共19页因此,的参数方程为 点M(x,y,z)M(x,y,z)在旋转面上的充要条件是 第17页/共19页消去参数 ,得 即 这是一个旋转单叶双曲面.作业:(1)复习第3章第1节;(2)P80:2(3)(4),3,5(1),7,9(3)(6)(9)(10);第18页/共19页感谢您的观看!第19页/共19页
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