2019学年高一数学下学期期末综合测试试题（四）（含解析）.doc

120192019 学年高一数学下学期期末综合测试试题（四）学年高一数学下学期期末综合测试试题（四） （含解析）（含解析）一、选择题一、选择题：1. 下列函数中，周期为 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知的周期为，的周期为，的周期为，的周期为；故选 D.2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】移项得.故选 B3. 已知向量若与平行，则实数 的值是（ ）a = (1,1),b = (2,x),a + b4b−2axA. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】解法 1 因为，所以由于与平行，a = (1,1),b = (2,x)a + b = (3,x + 1),4b−2a = (6,4x−2),a + b4b−2a得，解得。6(x + 1)−3(4x−2) = 0x = 2解法 2 因为与平行，则存在常数，使，即，根据a + b4b−2aa + b = λ(4b−2a)(2λ + 1)a = (4λ−1)b2向量共线的条件知，向量与 共线，故。bx = 24. 已知 是所在平面内一点， 为边中点，且，那么（ ）O△ ABCDBC2OA + OB + OC = 0A. B. C. D. AO = ODAO = 2ODAO = 3OD2AO = OD【答案】A【解析】由O为BC边上中线AD上的点,可知，2OD = OB + OC = - OA = AO故选：B.5. 若函数f(x)=sinx, x∈[0, ], 则函数f(x)的最大值是 ( )312π3A. B. C. D. 12232232【答案】D【解析】【分析】先求出 的取值范围，然后再求出sinx的最大值，进而得到函数f(x)的最大值．12x312【详解】∵，0 ≤ x ≤π3∴，0 ≤x2≤π6∴，0 ≤ sinx2≤12∴，即，0 ≤ 3sinx2≤320 ≤ f(x) ≤32∴的最大值为 ．f(x)32故选 D．【点睛】本题考查函数的最值的求法，解题时将看作一个整体，求f(x)= Asin(ωx + φ)ωx + φ出的范围后再结合函数的图象可得所求，注意整体思想及数形结合思想的运用．ωx + φ6. (1+tan250)(1+tan200 )的值是 ( )A. -2 B. 2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】3逆用两角和正切公式求解可得所求．【详解】由题意得，(1 + tan25°)(1 + tan20°)= 1 + tan20°+ tan25°+ tan20°tan25°又，tan20°+ tan25°= tan(20°+ 25°)(1 - tan20°tan25°)= 1 - tan20°tan25°∴．(1 + tan25°)(1 + tan20°)= 1 +(1 - tan20°tan25°)+ tan20°tan25°= 2故选 B．【点睛】解答类似问题时既要熟悉常见三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，如和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)(1∓tan xtan y)等．7. 已知为锐角，a=sin()，b=，则a、b之间关系为（ ）α、βα + βsinα + cosαA. a＞b B. b＞a C. a=b D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式可得，再由为锐角可得a = sin(α + β)= sinαcosβ + cosαsinβα、β，从而得，即．0 0)T =2πω∵函数在区间[0，1]至少出现 2 次最大值，y = sinωx∴，54×2πω≤ 1又，ω > 0∴，ω ≥52π∴ 的最小值为．ω52π故选 A．【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用，将函数在给定区间内取得最值的个数转化为函数在该区间内周期的个数的问题解决，建立不等式后解不等式即可得到所求．11. 在直角坐标系中，分别是与 轴， 轴平行的单位向量，若直角三角形中，xOyi, jxyABC，，则 的可能值有 ( )AB = 2i + jAC = 3i + kjkA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】6试题分析：根据题意，由于直角三角形中，，，那么当角 A 是直ABCAB = 2i + jAC = 3i + kj角时，则满足，当角 B 为直角时，AB·AC = (2i + j)·(3i + kj) = 0,−6 + k = 0,k = 6或者角 C 为直角时分别求解得到AB·BC = (2i + j)·(i + (k−1)j) = 0,−6 + k−1 = 0,k = 7无解，故有两个值，选 B.CB·AC = (−i + (1−k)j)·(3i + kj) = 0,3 + k(1−k) = 0,考点：向量的数量积运用点评：解决该试题的关键是根据数量积为零来求解垂直问题，属于基础题。12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是 1， l2与l3间的距离是 2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （ ）A. B. C. D. 2 34 633 1742 213【答案】D【解析】【分析】设与直线 交于点 ．作于 ，于于 ．ACl2DAE ⊥ l2EBG ⊥ ACG，CF ⊥ l2F设，则可得，．由可得AD = xAC = 3xDG =x2,BG =3 3x2Rt∆BDG ∽ Rt∆CDFDF =23 3，，然后根据勾股定理可得，于是可得△ABC的边长为．DF =13 3AD =2 2193AD =2 213【详解】设与直线 交于点 ．作于 ，于于 ．ACl2DAE ⊥ l2EBG ⊥ ACG，CF ⊥ l2F设，则可得，于是．AD = xAC = 3xDG =x2,BG =32· 3x =3 3x2由题意得，Rt∆BDG ∽ Rt∆CDF7∴，即，BGCF=DGDF3 3x22=x2DF解得，DF =23 3∴．DE =13 3在中，Rt∆ADE可得，AD2= AE2+ DE2= 1 + (13 3)2=2827∴，AD =2827=2 219∴正△ABC的边长．AC = 3AD =2 213故选 D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，等边三角形的性质，勾股定理等，考查学生的转化能力和运算能力，在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键．二、填空题：二、填空题： 13. 设两个向量 ，满足，的夹角为 60°,若向量与向量e1,e2|e1|= 2,|e2| = 1e1,e22te1+ 7e2的夹角为钝角，则实数的取值范围为____________.e1+ te2【答案】.(−7,−142) ∪ (−142,−12)【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形．【详解】∵，的夹角为 60°,|e1|= 2,|e2| = 1e1,e2∴e1· e2= 2 × 1 × cos60°= 1．∵向量与向量的夹角为钝角，2te1+ 7e2e1+ te2∴(，2te1+ 7e2) ·(e1+ te2)= 2te12+(2t2+ 7)e1· e2+ 7te22= 2t2+ 15t + 7 0a,ba · b < 0之不成立（注意共线反向的情形） ．14. 若－，∈（0，π） ，则 tan=__________________.sinθcosθ =75【答案】或.−43−34【解析】【分析】由－可得，由此可求得的值，然后可求得，sinθcosθ =752sinθcosθ = -2425sinθ + cosθsinθ,cosθ于是可得所求．【详解】∵－，sinθcosθ =75∴，(sinθ - cosθ)2= 1 - 2sinθcosθ =4925∴，2sinθcosθ = -2425∴，(sinθ + cosθ)2= 1 + 2sinθcosθ =125∴．sinθ + cosθ = ±15由解得，故得；{sinθ－cosθ =75sinθ + cosθ =15 {sinθ =45cosθ = -35 tanθ =sinθcosθ= -43由解得，故得．{sinθ－cosθ =75sinθ + cosθ = -15 {sinθ =35cosθ = -45 tanθ =sinθcosθ= -34综上可得的值为或．tanθ-43-34【点睛】对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一9个式子的值，其余二式的值可求，其中转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，但解题中要注意判断 sin α＋cos α和 sin α－cos α的符号．15. 如右图，在中，是边上一点，则ΔABC∠BAC = 120°,AB = 2,AC = 1,DBCDC = 2BD,____________.AD•BC =【答案】.−83【解析】【分析】将向量用向量表示，然后根据向量数量积的定义求解可得结果．AD,BCAB,AC【详解】由题意得，AD = AB + BD = AB +13BC = AB +13(AC - AB)=23AB +13AC又，BC = AC - AB∴AD•BC =(23AB +13AC)•(AC - AB)= -23AB2+13AC · AB +13AC2．= -23× 4 +13× 2 × 1 ×(-12)+13= -83【点睛】解决类似问题时，首先要抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题AB,AC方便快捷．16. 下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 ；π②终边在y轴上的角的集合是{α|α=；kπ2,k ∈ Z}③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；④把函数；y = 3sin(2x +π3)的图象向右平移π6得到y = 3sin2x的图象⑤函数。y = sin(x -π2)在[0，π]上是减函数其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的编号）10【答案】① ④.【解析】【分析】根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题．【详解】对于①，由于y = sin4x - cos4x =(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)= cos2x - sin2x，所以函数的最小正周期为 ．因此命题①正确．= cos2xπ对于②，终边在y轴上的角的集合是，因此命题②不正确．{α|α = kπ +π2,k ∈ Z}对于③，在同一坐标系中，由三角函数的性质可得，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有在原点处有唯一的公共点．因此命题③不正确．对于④，把函数所得图象对应的解析式为y = 3sin(2x +π3)的图象向右平移π6．因此命题④正确．y = 3sin[2(x -π6)+π3]= 3sin2x对于⑤，函数，所以函数在区间上单调递增．因此命y = sin(x -π2)= - sin(π2- x)= - cosx[0，π]题⑤不正确．综上可得所有正确命题的序号为① ④．【点睛】本题考查角的有关概念和三角函数的性质及图象的有关知识，解答问题的关键是根据题意并结合相关的知识进行分析、判断，逐步得到所给的结论是否正确，考查学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力．三三. .解答题：解答题：17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝ .(1)求b的值；(2)求的值．23sin(2B−π3)【答案】(1) .b = 6(2) .4 5 + 318【解析】(1)在△ABC中，由，asinA＝bsinB且bsinA＝3csinB，a＝3，∴asinB＝3csinB，∴c＝1，由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝ ，可得b＝.23611(2)由 cosB＝ ，得 sinB＝ ，进而得2353cos 2B＝2cos2B－1＝－ ，sin 2B＝2sinBcosB＝.194 59所以 sin＝sin 2Bcos －cos 2Bsin ＝(2B−π3)π3π34 5 + 31818. 已知函数R R.f(x) = 2cosx(sinx - cosx) + 1,x ∈（1）求函数的最小正周期；f(x)（2）求函数在区间上的最小值和最大值．f(x)[π8,3π4]【答案】(1) .(2) 函数在区间上的最大值为最小值为.πf(x)[π8,3π4]2,- 1【解析】【分析】（1）运用三角变换，将函数的解析式化为的形式，结合周期的计算公式f(x) = 2sin(2x -π4)可得所求；（2）根据函数在区间上的单调性可求出最大值和最小f(x) = 2sin(2x -π4)[π8,3π8]值．【详解】(1)由题意得 .f(x) = 2cosx(sinx - cosx) + 1 = sin2x - cos2x= 2sin(2x -π4)∴函数的最小正周期为.f(x)T =2π2= π(2)解法一：∵，π8≤ x ≤3π4∴，0 ≤ 2x -π4≤5π4∴当，即上单调递增；π2≤ 2x -π4≤π2π8≤ x ≤3π8当，即上单调递减．0 ≤ 2x -π4≤5π43π8≤ x ≤3π4∴当时，取得最大值，且最大值为；x =3π8f(x)f(3π8)= 2又f(π8)= 0,f(3π4)= 2sin(3π2-π4)= - 2cosπ4= - 1,∴函数在区间上的最小值为．f(x)[π8,3π8]- 1解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象，如下图所示：f(x) = 2sin(2x -π4)[π8,9π8]12由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.f(x)[π8,3π4]2,f(3π4)= - 1【点睛】本题考查三角函数中的特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本运算能力．其中的解题关键是把所y = Asin(ωx + φ)给函数化为的形式，然后再运用整体的思想解题．y = Asin(ωx + φ)19. 设向量 a = (4cosα,sinα),b = (sinβ,4cosβ),c = (cosβ,−4sinβ)（1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; b−2ctan(α + β)|b + c|（3）若，求证：∥tanαtanβ = 16b【答案】(1)2.(2)32.(3)见解析.【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。20. 若函数在(0, 2π)内有两个不同零点 、 。f(x) = sinx + 3cosx + aαβ(1)求实数的取值范围；(2)求的值。tan(α + β)【答案】 （1）a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).33（2）.3【解析】【分析】（1）由于，故可将问题转化为方程 sin(x+在(0, f(x)= sinx + 3cosx + a = 2sin(x +π3) + aπ3) = -a22π)内有相异二解，由条件得到，结合函数的图象可得所求范围． （2）根据 、π3< x +π3<7π3α为函数的零点可得 sinα+cosα+=0 且 sinβ+cosβ+=0，将两式βf(x) = sinx + 3cosx + a3313相减并结合和差化积公式可得 tan，从而可得所求．α + β2=33【详解】(1)由题意得 sinx+cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ )， 31232π3∵函数在(0, 2π)内有两个不同零点，f(x) = sinx + 3cosx + a∴关于x的方程 sinx+cosx+a=0 在(0, 2π)内有相异二解，3∴方程 sin在(0, 2π)内有相异二解． (x +π3) = -a2∵0<2π，x <∴．π3< x +π3<7π3结合图象可得若方程有两个相异解，则满足且，- 1 < -a2< 1-a2≠32解得且．- 2 < a < 2a ≠ - 3∴实数的取值范围是．( - 2, - 3) ∪ ( - 3,2)(2) ∵ 是方程的相异解，α,β∴ sinα+cosα+=0 ① 3sinβ+cosβ+=0 ② 3① ②得(sinα sinβ)+( cosα cosβ)=0，--3-∴ 2sincos2sinsin，α - β2α + β2-3α + β2α - β2= 0又 sin≠0，α + β2∴ tan，α + β2=33∴ ．tan(α + β)=2tanα + β21 - tan2α + β2= 3【点睛】本题以函数的零点为载体考查三角变换及函数图象的应用，考查转化变形能力和运算能力以及数形结合能力，熟练掌握公式的变形及应用是解题的关键．21. 一海监船发现在北偏东方向,距离 12 nmile 的海面上有一敌船正以 10 nmile/h 的45°速度沿东偏南方向逃窜.海监船的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,15°海监船应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值.45° + αα14【答案】所需时间 2 小时, , . .sinα =5 314【解析】分析：先设时间，表示路程，再根据余弦定理求时间，再根据正弦定理求角.详解： 设 ， 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 小时后在 处追上（如图所示）.ACxB则有，，，AB = 14xBC = 10x∠ACB = 120°，(14x)2= 122+(10x)2- 240x ⋅ cos120°所以，，，x = 2AB = 28BC = 20，sinα =20sin120°28=5 314所以所需时间为 2 小时，角 的正弦值为.α5 314点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.22. 已知函数，．f(x) = cos2(x +π12)g(x) = 1 +12sin2x（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．x = x0y = f(x)g(x0)（II）求函数的单调递增区间．h(x) = f(x) + g(x)【答案】(1) 当 为偶数时，，kg(x0) = 1 +12sin(−π6)= 1−14=34当 为奇数时，．kg(x0) = 1 +12sinπ6= 1 +14=5415(2) 函数的单调递增区间是（） ．h(x)[kπ−5π12，kπ +π12]k ∈ Z【解析】试题分析：（1）先将三角函数化为基本三角函数，即利用降幂公式得，f(x) =12[1 + cos(2x +π6)]再利用基本三角函数性质得： ，即，所以2x0+π6= kπ2x0= kπ−π6．因此分 为奇偶讨论得，的值为或， （2）同样先g(x0) = 1 +12sin2x0= 1 +12sin(kπ−π6)kg(x0)将三角函数化为基本三角函数，此时要用到两角和余弦公式及配角公式，即h(x) = f(x) + g(x) =12[1 + cos(2x +π6)] + 1 +12sin2x，再利用基本三角函数性质=12[cos(2x +π6) + sin2x] +32=12(32cos2x +12sin2x) +32=12sin(2x +π3) +32得：，即（） ，故函数的单调递增区间是2kπ−π2≤ 2x +π3≤ 2kπ +π2kπ−5π12≤ x ≤ kπ +π12k ∈ Zh(x)（） ．[kπ−5π12，kπ +π12]k ∈ Z试题解析：（1）由题设知．f(x) =12[1 + cos(2x +π6)]因为是函数图象的一条对称轴，所以 ，即（） ．所以．当 为偶数时，，当 为奇数时，．（2）．当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（） ．考点：三角函数性质16