高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案.doc
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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 1111 章算法初步章算法初步复数推理与证明第复数推理与证明第 4 4 讲直接证明与间接证明学案讲直接证明与间接证明学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 直接证明考点 2 间接证明1反证法的定义假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法2利用反证法证题的步骤(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止;(3)由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立简言之,否定归谬断言必会结论分析法与综合
2、法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明( )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件( )(3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab” ( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾( )(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程( )2 / 15答案 (1) (2) (3) (4) (5)2要证明b0,m,n
3、,则 m,n 的大小关系是_答案 ma0,显然成立6下列条件:ab0,ab0,b0,a0 且0 成立,即 a,b 不为 0 且同号即可,故都能使2 成立板块二 典例探究考向突破考向 综合法证明例 1 已知 sin,sinx,cos 成等差数列,sin,siny,cos 成等比数列证明:2cos2xcos2y.证明 sin 与 cos 的等差中项是 sinx,等比中项是siny,sincos2sinx,sincossin2y,22,可得(sincos)22sincos4sin2x2sin2y,即 4sin2x2sin2y1.421,即 22cos2x(1cos2y)1.故证得 2cos2xcos
4、2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理【变式训练 1】 已知 f(x),证明:f(x)f(1x).证明 f(x),f(x)f(1x).4 / 15故 f(x)f(1x)成立考向 分析法证明例 2 已知 a0,证明: a2.证明 要证 a2,只需证 (2)因为 a0,所以(2)0,所以只需证 22,即 2(2)84,只需证 a2.因为 a0,a2 显然成立1 时等号成立,所以要
5、证的不等式成立触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证【变式训练 2】 已知正数 a,b,c 满足 abc1.求证:.证明 欲证,则只需证()23,即证 abc2()3,即证1.又1,当且仅当 abc时取“” ,原不等式成立考向 反证法的应用命题角度 1 证明否定性命题例 3 设an是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和5 / 15
6、(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?解 (1)证明:若Sn是等比数列,则 SS1S3,即 a(1q)2a1a1(1qq2),a10,(1q)21qq2,解得 q0,这与 q0 相矛盾,故数列Sn不是等比数列(2)当 q1 时,Sn是等差数列当 q1 时,Sn不是等差数列假设 q1 时,S1,S2,S3 成等差数列,即 2S2S1S3,2a1(1q)a1a1(1qq2)由于 a10,2(1q)2qq2,即 qq2,q1,q0,这与 q0 相矛盾综上可知,当 q1 时,Sn是等差数列;当 q1 时,Sn不是等差数列命题角度 2 证明存在性问题例 4 设 x、y、z
7、0,ax,by,cz,求证:a、b、c 三数至少有一个不小于 2.证明 假设 a、b、c 都小于 2,则 abc2),使函数 h(x)是区间a,b上7 / 15的“四维光军”函数?若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由解 由已知得 g(x)(x1)21,其图象的对称轴为 x1,区间1,b在对称轴的右边,所以函数在区间1,b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知 g(1)1,g(b)b,即 b2bb,解得 b1 或 b3.因为 b1,所以 b3.假设函数 h(x)在区间a,b(a2)上是“四维光军”函数,因为 h(x)在区间(2,)上单调递减,所以有即解得ab,这与已知矛盾故不存在核心
8、规律1.分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知2.综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知3.分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来满分策略1.当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易,一般用综合法,但在证明中,要保证前提条件正确,推理要合乎逻辑规律2.当题目条件较少,可逆向思考时,执果索因,使用分析法解决但在证明过程中,注意文字语言的准确表述8 / 153.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用
9、假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.板块三 启智培优破译高考创新交汇系列 10分析法与综合法的交汇整合2018长沙模拟已知函数 f(x)log2(x2),a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列,试判断 f(a)f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论解题视点 (1)先判断它们的大小,可用特例法(2)用分析法探寻证题思路(3)用综合法完成证明事实上,取a1,b2,c4,则 f(a)f(c)f(1)f(4)log218,2f(b)2f(2)log216,于是由 log218log216,猜测 f(a)f(c)2f(b)要证 f(a)f(
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