模糊数学-模糊集的基本运算.ppt
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1、第二讲 模糊集的基本运算2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法如如如如前前前前所所所所述述述述,模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合本本本本质质质质上上上上是是是是论论论论域域域域X X到到到到0,0,11的的的的函函函函数数数数,因因因因此此此此用用用用隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数来来来来表表表表示示示示模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合是是是是最最最最基基基基本的方法。除此以外本的方法。除此以外本的方法。除此以外本的方法。除此以外,还有以下的表示方法:还有以下的表示方法:还有以下的表示方法:还有以下的表示方法:1.1.序偶表示法序偶表示法序偶表示法序偶表示法A A=(=(x x,A A(x
2、 x)|)|x x X X.例例例例如如如如:用用用用集集集集合合合合X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 表表表表示示示示某某某某学学学学生生生生宿宿宿宿舍舍舍舍中中中中的的的的四四四四位位位位男男男男同同同同学学学学,“帅帅帅帅哥哥哥哥”是是是是一一一一个个个个模模模模糊糊糊糊的的的的概概概概念念念念。经经经经某某某某种种种种方方方方法法法法对对对对这这这这四四四四位位位位学学学学生生生生属属属属于于于于帅帅帅帅哥哥哥哥的的的的程程程程度度度度(“(“帅帅帅帅度度度度”)”)做做做做的的的的评评评评价价价价依依依依次次次次为为为为:0.55,0.55,0.78,0
3、.78,0.91,0.91,0.56,0.56,则则则则以此评价构成的模糊集合以此评价构成的模糊集合以此评价构成的模糊集合以此评价构成的模糊集合A A记为记为记为记为:A A=(=(x x1 1,0.55),(,0.55),(x x2 2,0.78),(,0.78),(x x3 3,0.91),(,0.91),(x x4 4,0.56).,0.56).2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法当当当当论论论论域域域域X X=x x1 1,x x2 2,x xn n 时时时时,X X上上上上的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集A A可可可可表示为向量表示
4、为向量表示为向量表示为向量A A=(=(A A(x x1 1),),A A(x x2 2),),A A(x xn n).).前述的模糊集前述的模糊集前述的模糊集前述的模糊集“帅哥帅哥帅哥帅哥”A A可记为可记为可记为可记为:A A=(0.55,0.78,0.91,0.56).=(0.55,0.78,0.91,0.56).这这这这 种种种种 向向向向 量量量量 的的的的 第第第第 个个个个 分分分分 量量量量 都都都都 在在在在 0 0与与与与 1 1之之之之 间间间间A A(x xi i)0,1,0,1,称之为模糊向量。称之为模糊向量。称之为模糊向量。称之为模糊向量。3.Zadeh3.Zade
5、h表示法表示法表示法表示法当当当当论论论论域域域域X X为为为为有有有有限限限限集集集集 x x1 1,x x2 2,x xn n 时时时时,X X上上上上的的的的一一一一个模糊集合可表示为个模糊集合可表示为个模糊集合可表示为个模糊集合可表示为A A=A A(x x1 1)/)/x x1 1+A A(x x2 2)/)/x x2 2+A A(x xn n)/)/x xn n.2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法前述的模糊集前述的模糊集前述的模糊集前述的模糊集“帅哥帅哥帅哥帅哥”A A可记为可记为可记为可记为:A A=0.55/=0.55/x x1 1+0.78/+0.78/x x2 2+0
6、.91/+0.91/x x3 3+0.56/+0.56/x x4 4.注注注注意意意意,这这这这里里里里仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是借借借借用用用用了了了了算算算算术术术术符符符符号号号号+和和和和/,/,并并并并不不不不表表表表示示示示分分分分式式式式求求求求和和和和运运运运算算算算,而而而而只只只只是是是是描描描描述述述述A A中中中中有有有有哪哪哪哪些些些些元元元元素素素素,以及各个元素的隶属度值。以及各个元素的隶属度值。以及各个元素的隶属度值。以及各个元素的隶属度值。还还还还可可可可使使使使用用用用形形形形式式式式上上上上 符符符符号号号号,从从从从而而而而可可可可用用用用这这这这种种种种
7、方方方方法法法法表表表表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法此此此此外外外外,ZadehZadeh还还还还可可可可使使使使用用用用积积积积分分分分符符符符号号号号 表表表表示示示示模模模模糊糊糊糊集集集集,这这这这种种种种表表表表示示示示法法法法适适适适合合合合于于于于任任任任何何何何种种种种类类类类的的的的论论论论域域域域,特特特特别别别别是是是是无无无无限限限限论论论论域域域域中中中中的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合的的
8、的的描描描描述述述述。与与与与 符符符符号号号号相相相相同同同同,这这这这里里里里的的的的 仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是一一一一种种种种符符符符号号号号表表表表示示示示,并并并并不不不不意意意意味味味味着着着着积积积积分分分分运算。对于任意论域运算。对于任意论域运算。对于任意论域运算。对于任意论域X X中的模糊集合中的模糊集合中的模糊集合中的模糊集合A A可记为可记为可记为可记为:2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法模糊集模糊集模糊集模糊集“年轻年轻年轻年轻”A A可表示为可表示为可表示为可表示为2.1 模糊集的表示方法模糊集的表示方法注注注注意意意意:当当当当论论论论域域域域明明明明确确确确
9、的的的的情情情情况况况况下下下下,在在在在序序序序偶偶偶偶和和和和ZadehZadeh表表表表示示示示法法法法中中中中,隶隶隶隶属属属属度度度度为为为为0 0的的的的项项项项可可可可以以以以不不不不写写写写出出出出。而而而而在在在在向向向向量表示法中量表示法中量表示法中量表示法中,应该写出全部分量。应该写出全部分量。应该写出全部分量。应该写出全部分量。例例例例如如如如,论论论论域域域域X X为为为为1 1到到到到1010的的的的所所所所有有有有正正正正整整整整数数数数,模模模模糊糊糊糊集集集集“几个几个几个几个”A A可表示为:可表示为:可表示为:可表示为:2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算
10、(定义定义)1.1.几点说明几点说明几点说明几点说明如如如如前前前前所所所所述述述述,经经经经典典典典集集集集合合合合可可可可用用用用特特特特征征征征函函函函数数数数完完完完全全全全刻刻刻刻画画画画,因因因因而而而而经经经经典典典典集集集集合合合合可可可可看看看看成成成成模模模模糊糊糊糊集集集集的的的的特特特特例例例例(即即即即隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数只只只只取取取取0,10,1两个值的模糊集两个值的模糊集两个值的模糊集两个值的模糊集)。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,X X上上上上的的的的全全全全体体体体模模模模糊糊糊糊集集集集记记记记作作作作F F(X X)
11、.).于于于于是是是是,P P(X X)F F(X X),),这这这这里里里里P P(X X)为为为为X X的的的的幂幂幂幂集集集集(即即即即X X的的的的全体子集构成的集合全体子集构成的集合全体子集构成的集合全体子集构成的集合).).特特特特别别别别地地地地,空空空空集集集集的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数恒恒恒恒为为为为0,0,集集集集X X的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数恒为数恒为数恒为数恒为1,1,即即即即、X X都是都是都是都是X X上的模糊集。上的模糊集。上的模糊集。上的模糊集。2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)2.2.模糊集的包含关系模糊集的包含关系模糊集
12、的包含关系模糊集的包含关系首先考查经典集合包含关系的特征。首先考查经典集合包含关系的特征。首先考查经典集合包含关系的特征。首先考查经典集合包含关系的特征。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上的的的的两两两两个个个个经经经经典典典典集集集集合合合合。A A B B当且仅当属于当且仅当属于当且仅当属于当且仅当属于A A的元素都属于的元素都属于的元素都属于的元素都属于B B.易易易易 证证证证 A A B B当当当当 且且且且 仅仅仅仅 当当当当 对对对对 任任任任 意意意意 x x X X有有有有 A A(x x)B B(x x).).X X
13、1 1X X1 12.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上的的的的两两两两个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合。称称称称A A包包包包含含含含于于于于B B(记记记记作作作作A A B B),),如如如如果果果果对对对对任任任任意意意意x x X X有有有有A A(x x)B B(x x).).这时也称这时也称这时也称这时也称A A为为为为B B的子集。的子集。的子集。的子集。X X1 1A(x)A(x)B(x)B(x)2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)例例例例,论论论论域域域
14、域X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 时时时时,X X上上上上的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集A A为为为为:A A=(0.55,0.78,0.91,0.56).=(0.55,0.78,0.91,0.56).X X上的模糊集上的模糊集上的模糊集上的模糊集B B为为为为:B B=(0.35,0.52,0.65,0.37).=(0.35,0.52,0.65,0.37).则根据定义有则根据定义有则根据定义有则根据定义有B B A A.帅哥帅哥帅哥帅哥超男超男超男超男论论论论域域域域X X上上上上的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集A A与与与与B B称称称称为为为为是是是是相
15、相相相等等等等的的的的,如如如如果果果果A A B B 且且且且B B A A,即对任意即对任意即对任意即对任意x x X X有有有有A A(x x)=)=B B(x x).).2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)3.3.模糊集的并模糊集的并模糊集的并模糊集的并首先考查经典集合的并。首先考查经典集合的并。首先考查经典集合的并。首先考查经典集合的并。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上的的的的两两两两个个个个经经经经典典典典集集集集合合合合。A AB B=x x X|xX|x A A或或或或x x B B.易易易易证证证证 A
16、A B B(x x)=max)=max A A(x x),),B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x).).X X1 1X X1 12.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上的的的的两两两两个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合。A A与与与与B B的的的的并并并并(记记记记作作作作A AB B)是是是是X X上上上上的的的的一一一一个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集,其其其其隶属函数为隶属函数为隶属函数为隶属函数为(A(AB B)()(x x)=max)=maxA A(x x),)
17、,B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x),),x x X X.(AB)(x)2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)4.4.模糊集的交模糊集的交模糊集的交模糊集的交非非非非空空空空论论论论域域域域X X上上上上的的的的两两两两个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合A A与与与与B B的的的的交交交交(记记记记作作作作A AB B)是是是是X X上的一个模糊集上的一个模糊集上的一个模糊集上的一个模糊集,其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为(A(AB B)()(x x)=min)=minA A(x x),),B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x
18、),),x x X X.(AB)(x)2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)5.5.模糊集的补模糊集的补模糊集的补模糊集的补非非非非空空空空论论论论域域域域X X上上上上的的的的一一一一个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合A A的的的的补补补补(记记记记作作作作A A 或或或或A AC C)是是是是X X上的一个模糊集上的一个模糊集上的一个模糊集上的一个模糊集,其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为A A (x x)=1)=1 A A(x x),),x x X X.2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)注注注注:两两两两个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集的的的的
19、并并并并、交交交交运运运运算算算算可可可可以以以以推推推推广广广广到到到到一一一一般般般般情情情情形形形形,即即即即对对对对任任任任意意意意指指指指标标标标集集集集I I,若若若若A Ai i是是是是X X上上上上的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集,i i I I.则模糊集的则模糊集的则模糊集的则模糊集的(任意任意任意任意)并、并、并、并、(任意任意任意任意)交定义为交定义为交定义为交定义为:2.2 模糊集上的运算模糊集上的运算(定义定义)例例例例 设设设设论论论论域域域域X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 为为为为一一一一个个个个4 4人人人人集集集集合合合合,X
20、X上上上上的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合A A表表表表示示示示“高高高高个个个个子子子子”:”:A A=(x x1 1,0.6),0.6),(x x2 2,0.5),0.5),(x x3 3,1)1),(x x4 4,0.4)0.4).模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合B B表表表表示示示示“胖胖胖胖子子子子”:”:B B=(x x1 1,0.5),0.5),(x x2 2,0.6),0.6),(x x3 3,0.3)0.3),(x x4 4,0.4).0.4).则模糊集合则模糊集合则模糊集合则模糊集合“高或胖高或胖高或胖高或胖”为为为为:A AB B=(=(x x1 1,0.6,0.
21、60.5),(0.5),(x x2 2,0.5,0.50.6),(0.6),(x x3 3,1,10.3),0.3),(x x4 4,0.40.40.4)=(0.4)=(x x1 1,0.6),0.6),(x x2 2,0.6),0.6),(x x3 3,1),(,1),(x x4 4,0.4).,0.4).模糊集合模糊集合模糊集合模糊集合“又高又胖又高又胖又高又胖又高又胖”为为为为:A AB B=(=(x x1 1,0.5),(,0.5),(x x2 2,0.5),(,0.5),(x x3 3,0.3),(,0.3),(x x4 4,0.4).,0.4).模糊集合模糊集合模糊集合模糊集合“个
22、子不高个子不高个子不高个子不高”为为为为:A A =(=(x x1 1,0.4),(,0.4),(x x2 2,0.5),(,0.5),(x x3 3,0),(,0),(x x4 4,0.6).,0.6).2.3 模糊集的运算性质模糊集的运算性质1.1.经典集合的运算性质经典集合的运算性质经典集合的运算性质经典集合的运算性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:定定定定理理理理 设设设设X X为为为为论论论论域域域域,A A,B B,C C为为为为X X上上上上的的的的经经经经典
23、典典典集集集集合合合合,则则则则 (1)(1)幂等律幂等律幂等律幂等律:A AA A=A A,A AA A=A A;(2)(2)交换律交换律交换律交换律:A AB B=B BA A,A AB B=B BA A;(3)(3)结合律结合律结合律结合律:(:(A AB B)C C=A A(B BC C),),(A AB B)C C=A A(B BC C););(4)(4)吸收律吸收律吸收律吸收律:A A(A AB B)=)=A A,A A(A AB B)=)=A A;(5)(5)分配律分配律分配律分配律:A A(B BC C)=()=(A AB B)(A AC C),),A A(B BC C)=()
24、=(A AB B)(A AC C););2.3 模糊集的运算性质模糊集的运算性质(6)(6)对合律对合律对合律对合律(复原律复原律复原律复原律):():(A A )=A A;(7)(7)两极律两极律两极律两极律(同一律同一律同一律同一律):):A AX X=A A,A AX=XX=X,A A=,A A=A=A;(8)De Morgan(8)De Morgan对偶律对偶律对偶律对偶律:(:(A AB B)=A A B B ,(A AB B)=A A B B ;(9)(9)排中律排中律排中律排中律(互补律互补律互补律互补律):):A AA A =X=X,A AA A =.注注注注:满满满满足足足足
25、上上上上述述述述前前前前四四四四条条条条规规规规律律律律的的的的代代代代数数数数系系系系统统统统称称称称为为为为格格格格(可可可可诱诱诱诱导导导导出出出出一一一一个个个个序序序序A A B BA A B B=A AA AB B=B B),),满满满满足足足足以以以以上上上上9 9条条条条性性性性质质质质的的的的代代代代数数数数系系系系统统统统称称称称为为为为布布布布尔尔尔尔代代代代数数数数(Boolean(Boolean algebra,algebra,即即即即“有有有有补补补补的的的的有有有有界界界界分分分分配配配配格格格格”.”.其其其其中中中中,对对对对合合合合律、律、律、律、De Mo
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