数学必修二重点知识例题.pdf
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1、A B C D E F G M O 【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积.解:2123 42242 3248 3()2SSSmm 侧底.【例 4】如图中,正方体 ABCDA1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1的中点.(1)求直线 AB1和 CC1所成的角的大小;(2)求直线 AB1和 EF 所成的角的大小.解:(1)如图,连结 DC1,DC1AB1,DC1 和 CC1所成的锐角CC1D 就是 AB1和CC1所成的角.CC1D=45,AB1 和 CC1所成的角是 45.(2)如图,连结 DA1、A1C1,EFA1D,AB1DC1,A1DC1是直线 AB1和 E
2、F 所成的角.A1DC1是等边三角形,A1DC1=60,即直线 AB1和 EF 所成的角是 60.【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小.解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN,由三角形的中位线性质知 PNAB,PMCD,于是MPN就是异面直线 AB 和 CD 成的角(如图所示).连结 MN、DN,设 AB=2,PM=PNAN=DN=,由 MNAD,AM=1,得 MN=,MN2=MP2+NP2,MPN=90.异面直线 AB、CD 成 90角.【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别为
3、棱 BC、C1D1的中点.求证:EF平面 BB1D1D.证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OEDC,OE=12DC.DCD1C1,DC=D1C1,F 为 D1C1的中点,OED1F,OE=D1F,四边形 D1FEO 为平行四边形.EFD1O.又EF 平面 BB1D1D,D1O 平面 BB1D1D,EF平面 BB1D1D.【例 3】如图,已知、分别是四面体的棱、的中点,求证:AM平面EFG.证明:如右图,连结DM,交于点,连结,在BCD中,、分别是、中点,/GFBC,为中点,为MD中点,在AMD中,、为、MD中点,/EOAM,又AM 平面EFG,EO 平面EFG,AM平面EFG
4、.点评:要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.【例 4】如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点(1)求证:MN/平面 PAD;(2)若4MNBC,4 3PA,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.解:(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,由 N 是 PC 的中点,NH12DC.由 M 是 AB 的中点,NHAM,即 AMNH 为平行四边形./MNAH.由,MNPAD AHPAD平面平面,/MNPAD平面.(2)连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,
5、OM12BC,ON12PA,所以ONM就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,且 MONO.由4MNBC,4 3PA,得OM=2,ON=2 3所以030ONM,即异面直线 PA 与 MN 成 30的角 点评:已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得.【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是 A1B1的中点,求直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角的正弦值.解:取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面11ABC D于 O,连 AO.由已知正方体
6、,易知EO 平面11ABC D,所以EAO为所求.在Rt EOA中,1112222EOEFAD,2215()122AE,10sin5EOEAOAE.所以直线 AE 与平面11ABC D所成的角的正弦值为105.【例 2】如图,在空间四边形 ABCD中,,ABBCCDDA,E F G分别是,CD DA AC的中点,求证:平面BEF 平面BGD.证明:,ABBC G为 AC 中点,所以ACBG.同理可证,ACDGAC 面 BGD.又易知 EF/AC,则EF 面 BGD.又因为EF 面 BEF,所以平面BEF 平面BGD.知识要点:1.点斜式:直线过点000(,)P xy,且斜率为 k,其方程为00
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