点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用.pdf
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1、;.点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚(邮政编码 530007)圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”,它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨,以飨读者。定理 在双曲线12222byax
2、(a0,b0)中,若直线l与双曲线相交于 M、N 两点,点),(00yxP是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线l的斜率为MNk,则2200abxykMN.证明:设 M、N 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx,则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(,得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy 又.22,000021211212xyxyxxyyxxyykMN.2200abxykMN 同理可证,在双曲线12222bxay(a0,b0)中,若直线l与双曲线相交于 M、N 两点,点),(00yxP是弦 MN 的中
3、点,弦 MN 所在的直线l的斜率为MNk,则2200baxykMN.典题妙解 例 1 已知双曲线13:22xyC,过点)1,2(P作直线l交双曲线 C 于 A、B 两点.;.(1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹;(2)若 P 恰为弦 AB 的中点,求直线l的方程.解:(1),3,122ba焦点在 y 轴上.设点 M 的坐标为),(yx,由22baxykAB得:3121xyxy,整理得:.032322yxyx 所求的轨迹方程为.032322yxyx(2)P 恰为弦 AB 的中点,由2200baxykAB得:,3121ABk即.32ABk 直线l的方程为)2(321xy,即.0132 yx 例 2
4、 已知双曲线22:22 yxC与点).2,1(P(1)斜率为k且过点P 的直线l与 C 有两个公共点,求k的取值范围;(2)是否存在过点P 的弦 AB,使得 AB 的中点为 P?(3)试判断以)1,1(Q为中点的弦是否存在.解:(1)直线l的方程为)1(2xky,即.2kkxy 由.22,222yxkkxy得.064)2(2)2(2222kkxkkxk 直线l与 C 有两个公共点,得.0)64)(2(4)2(4,0222222kkkkkk 解之得:k23且.2k k的取值范围是).23,2()2,2()2,((2)双曲线的标准方程为.2,1,122222bayx 设存在过点 P 的弦 AB,使
5、得 AB 的中点为 P,则由2200abxykAB得:.1,22kk 由(1)可知,1k时,直线l与 C 有两个公共点,存在这样的弦.这时直线l的方程为.1 xy;.(3)设以)1,1(Q为中点的弦存在,则由2200abxykAB得:.2,21kk 由(1)可知,2k时,直线l与 C 没有两个公共点,设以)1,1(Q为中点的弦不存在.例 3 过点)0,2(M作直线l交双曲线1:22 yxC于 A、B 两点,已知OBOAOP(O为坐标原点),求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:在双曲线1:22 yxC中,122 ba,焦点在x轴上.设弦 AB 的中点为Q.,OBOAOP 由平行四边形
6、法则知:OQOP2,即 Q 是线段 OP 的中点.设点 P 的坐标为),(yx,则点 Q 的坐标为2,2yx.由2222abxykAB得:14222xyxyxyxy,整理得:.0422xyx 配方得:144)2(22yx.点 P 的轨迹方程是144)2(22yx,它是中心为)0,2(,对称轴分别为x轴和直线02 x的双曲线.例 4.设双曲线C的中心在原点,以抛物线4322xy的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲线的右准线 ()试求双曲线 C 的方程;()设直线:21l yx与双曲线C交于,A B两点,求AB;()对于直线1:kxyl,是否存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点,A B
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