数形结合例题选集.pdf
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1、v1.0 可编辑可修改数形结合数形结合一、在一些命题证明中的应用举例:一、在一些命题证明中的应用举例:1、证明勾股定理:24 (0.5ab)(a b)a2 b2 c2解析:上图中,四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积,化简后得到勾股定理a2 b2 c2。2、证明乘法公式(平方差与完全平方):2a2 b2(a b)(a b)(a b)a2 b2 2ab解析:在上图中,利用正方形和小正方形面积的转化,能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式:11v1.0 可编辑可修改解析:如上图所示,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
2、半,长度为a b,2根据直角三角形的相似关系,可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab,显然在直角三角形中,斜边上的中线的长度会大于等于高,利用这样简洁明了的几何图解,对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正(余)弦定理:解析:11a h a bsinC bsinC csinB;22bcabc即;,同理可得sinBsinCsinAsinBsinCaa,即 2R;根据圆的性质(等弧对等角)A D,sinA sinD 2RsinAabc 2R。综上,得正弦定理:sinAsinBsinC(1)如上图所示,ABC的面积S 22(ccosB)b2(a ccosB)(2)根据勾股定理AB2BE2 AC
3、2CE2,即c2;a2 c2 b2整理可得余弦定理:cosB;同理得出 cosA、cosC 的余弦定理。2ac22v1.0 可编辑可修改(0,)5、证明结论tanx x sinx,x2解析:如上图所示,根据 y=tanx、y=x、y=sinx 在x上的图像可看出(0,)2tanxxsinx,x。当然,实际考试作图不可能如此精确,那么转化到右(0,)2图的单位圆中,当x时,角的终边始终在第一象限内,根据三角函数线(0,)2可知,蓝线表示正弦线,红线表示正切线,再根据弧长公式lR x1 x,即图中黑色弧线的长度表示x,显而易见。红线长度 弧线长度蓝线长度,即tanxxsinx,x。(0,)26、证
4、明两角差的余弦公式:解析:如上图所示,根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标22(coscos)(sinsin)表示。左图中,AB2,将 B 点旋转至(1,0)处(右12sin()2,因为线段 AB 的长度没有图所示)。此时,AB2cos()22(coscos)(sinsin)cos()12sin()2,化简:发生变化,即33v1.0 可编辑可修改cos()coscossinsin。当然也可以用向量的方法证明,利用向量数量积定义,证明更加简洁。如左图,cos()coscos sinsin。OAOB(cos,sin)(cos,sin)11OA OB二、在考试中的具体应用:二、在考试
5、中的具体应用:1 1、与函数的综合运用,主要体现在求零点、与函数的综合运用,主要体现在求零点、交点、交点、解的个数及参数范围等方面:解的个数及参数范围等方面:例例 1 1(14 奉贤)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意 x 都满足 f(x+2)=-f x3,若函数g(x)(x),当-1 x 1时,f(x)f(x)logax只有四个零点,则 a 的取值范围是1 1答案:(,)(3,5)5 3解析:根据已知条件,f(x)的周期为4,先画f(x)一个周期图像,当1x322(x 2)-f(x),f(x)(-x 2)时,f(x 2),由此画出-1,3)的图像,此为一个周期,图像如下,g(x)f
6、(x)logax只有四个零点即f(x)与y=logax只有四个交点,需分类讨论:(1)当 0a1 时,也有两个界值,如下图所示:此时 3 个交点,代入(-3,1),解得 a=3。评注:数形结合体型,一定要结合图像分析,并且一些用于定位的特殊点要善于把握;另一方面,必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。log2x,0 x 4例例 2 2(14 闵行)f(x),若a、b、c、d 互不相同,且 f2270 x 8x,x 433(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 abcd 的取值范围是答案:(32,35)12 c)12 c2,4c0 时,y=f(x)单调递减且无最值;方程 f(x)=kx+
7、b(k0)一定有解;如果方程 f(x)=k 有解,则解的个数一定是偶数;y=f(x)是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案:、解析:含绝对值、分类讨论。先画x1 和 0 x0 且 a1,已知函数 f(x)=ax 2sin2x(至少2 x 0)有 5 个零点,则 a 的取值范围为答案:(0,1)(1,2)解析:就是求函数y 2sin2x与函数y 2ax在x上的交点个数,分两(0,)种情况:(1)当 0a1 时,在x两个函数图像有无数个交点,如下图所示:(0,)1个周期”这样的图像性质,结合图像原理,就迎刃而解4所以 0a1 时,如下图所示,在x要至少 5 个交点,函数y 2 ax在(0,)x=1
8、 处要大于 0即 2-a0,a0,不等式 f(x)则其中所有命题的序号是答案:、解析:根据下图所示可知:选项是2k,选项反比例函数图像至少要满足点k9)恒成立,则实数 k 的取值范围是,x81111v1.0 可编辑可修改5 15(,)上,此时,k 2 24评注:数形结合的思想,国家题意画图帮助理解,然后利用一些特殊点定位,图像尽量做到精确,才能避免差错3 3、与解析几何的综合运用:、与解析几何的综合运用:例例 1 1(14 闸北)设曲线C:x2 y2 2 2(,则曲线C 所围封闭图形的3 x y)面积为答案:328 33解析:因为图像关于 x 轴、y 轴对称,所以可以先画第一象限的图像,第一象
9、限x0,y0,绝对值直接去掉,可得一段圆弧,然后关于x 轴、y 轴对称翻折,如下图所示,根据题目数据,可得ABC 150,AB=2,可以先算第一象限的面积,由一个扇形与一个四边形构成,然后再乘以 4,全面积为328 3。3评注:方程图像问题,含绝对值,所以根据象限分类讨论,根据相关性质画出方程图像,割补法求面积。变式变式 由曲线x2 y2 x y所围成的封闭图形的面积为1212v1.0 可编辑可修改答案:2+例例 2 2(14 金山)已知直线l:4x-3y+6=0,抛物线 C:y2 4x图像上的一个动点P 到直线l与 y 轴的距离之和的最小值是答案:1解析:结合题意,画出直线与抛物线的草图,找
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