(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练习理新人教.pdf
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1、第 3 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 1已知F为椭圆C:错误!错误!1 的右焦点,M为C上的任意一点(1)求|MF|的取值范围;(2)P,N是C上异于M的两点,若直线PM与直线PN的斜率之积为错误!,证明:M,N两点的横坐标之和为常数 解:(1)依题意得a2,b错误!,所以c 错误!1,所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM,yM),则错误!错误!1,所以|MF|2(xM1)2y错误!(xM1)23错误!x错误!错误!x错误!2xM4错误!(xM4)2,又2xM2,所以 1|MF|29,所以 1MF|3,所以MF的取值范围为1,3(2)证明:设P,
2、M,N三点的坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN),设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,则直线PM的方程为yyPk1(xxP),联立方程,得错误!消去y,得(34k21)x28k1(k1xPyP)x4k错误!x错误!8k1xPyP4y错误!120,由根与系数的关系可得xMxP错误!,所以xM错误!xP错误!,同理可得xNxP错误!,又k1k2错误!,故xNxP错误!错误!错误!,则xN错误!xP错误!xM,从而xNxM0,即M,N两点的横坐标之和为常数 2(2019郑州市第二次质量预测)椭圆错误!错误!1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一动点(异于左、右
3、顶点),AF1F2的周长为 42错误!,且面积的最大值为错误!.(1)求椭圆C的方程;(2)设B是椭圆上一动点,线段AB的中点为P,OA,OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,且k1k2错误!,求OP的取值范围 解:(1)由椭圆的定义及AF1F2的周长为 42错误!,可得 2(ac)42错误!,所以ac2错误!.当A在上(或下)顶点时,AF1F2的面积取得最大值,即bc错误!,由及a2c2b2,得a2,b1,c错误!,所以椭圆C的方程为错误!y21。(2)当直线AB的斜率不存在时,k1k2,因为k1k2错误!,所以k1错误!,不妨取k112,则直线OA的方程为y错误!x,不妨取点A错误!
4、,则B错误!,P(错误!,0),所以OP|错误!.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),由错误!可得(14k2)x28kmx4m240,64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)0,所以x1x2错误!,x1x2错误!.因为k1k2错误!,所以 4y1y2x1x20,所以 4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m24错误!4m20,化简得 2m214k2(满足式),所以m2错误!。设P(x0,y0),则x0错误!错误!错误!,y0kx0m错误!。所以|OP|2x错误!y错误!错误!错误!2
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