什么是KT点.pdf
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1、1/26 第三讲 非线性规划 4 约束极值问题(1)问题 min(),|()0,1,jf XRX gXjl 思路:有约束无约束;非线性线性;复杂简;一、最优性条件 1.可行下降方向(有用约束,可行方向,下降方向)(1)有用(效)约束 设式的(),()jf XgX有一阶连续偏导 设(0)X是一个可行解,下一步考察时,要讨论约束.2/26 分析:应有(0)(0)(0)()0()0()0jjjgXgXgX 若(0)()0jgX,则在(0)()U X内,有()0jgX,此时各个方向均可选.若(0)()0jgX,则(0)X()0jgX 形成的边界,影响下一步选向.1x2x()0R X g X()f X(
2、)0jgX(0)X3/26 故称()0jgX 是(0)X点的有效约束.(2)可行方向(对可行域来说)设(0)X为可行点,P为某方向,若存在00,使得(0)0,0,XPR 则称P是(0)X点的一个可行方向.(a)可行方向P与有效约束(0)()0jg X的梯度(0)()jg X关系是:(0)()0Tjg XP.4/26 记有效约束下标集 (0)|()0,1jJj g Xjl 若P为(0)X的可行方向,则 存在00,使得当00,有(0)(0)()()0,jjgXPgXjJ 从而(0)(0)0d()()0,djTjgXPgXPjJ 见下图.5/26 (b)反之,若(0)()0TjgXP,则P必为可行方
3、向.(0)(0)(0)()()()()TjjjgXPgXgXPo(0)1()0gX(0)2()0gX(0)2()gX(0)1()gXP(0)X6/26 对有效约束(0)()0jgX,只要充分小,得(0)()0jgXP,所以P是可行方向;对无效约束(0)()0jgX,同样只要充分小,就有(0)()0jgXP,故P也是可行方向;事实上,对无效(0)()0jgX,P都是可行方向.(3)下降方向(对目标函数来说)设(0)XR,对某P方向,若在000,07/26 内,有(0)(0)()()f XPf X 则称P是一个下降方向.下降方向判定:若(0)()0Tf XP,则P是(0)X的一个下降方向.因为(0
4、)()()f Xf XP(0)(0)()()()Tf Xf XPo,只要充分小,都有(0)()()f Xf X.(4)可行下降方向 8/26 若(0)XR的某方向P是 可行方向+下降方向,则称P是(0)X的可行下降方向.即 存在00,当00,时,有(0)()0jgXP且(0)(0)()()f XPf X,是继续寻优方向.讨论:(0)X非极小值点存在可行下降方向P;(0)X极小值点 无可行下降方向P;(可行但不下降,或下降不可行)9/26 定理(局部极(最)小必要条件)设X是min(),()0if XXg X局部极小点,(),(),jf XgXjJ(有效约束下标集)在X处可微,(),jgXjJ在
5、X处连续,则在X处无可行下降方向P,即不存在P,使 10/26*()0,()0,TjTgXPjJf XP (*)证 否则由(*)及前面的分析,可找出可行下降点 X非局部极小值点矛盾.如图 所示 1x2x()f X()f X1()g X11/26 问题:min(),|()0,1,jf XRX gXjl 2.库恩塔克条件(局部最小的必要条件)是非线性规划中最重要成果之一(1)Gordan 引理(不加证明)设12,.,lA AA是l个n维向量,则 P,使0,1,2,.,TjA Pjl 0j,不全为零,使10ljjjA.12/26(不指向同侧的向量,正组合为零)(如 l=3,n=2)若同侧,则有 P(
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