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1、- 1 -第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:|ab|a|b|;|ab|ac|cb|;2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|axb|c;|axb|c;|xa|xb|c。2016,全国卷,24,10 分(绝对值不等式的求解)2016,全国卷,24,10 分(绝对值不等式的求解)2015,全国卷,24,10 分(绝对值不等式的求解,分段函数的图象)本部分在高考中的考查主要侧重于两个方面:一是考查绝对值不等式的解法,往往含有两个绝对值号;另一方面是利用不等式的解集或利
2、用函数的最值求不等式中所含的参数的取值范围。微知识 小题练自|主|排|查1绝对值三角不等式定理 1:如果a,b是实数,那么|ab|a|b|,当且仅当ab0 时,等号成立。定理 2:如果a,b,c是实数,那么|ab|ac|cb|,当且仅当(ac)(cb)0 时,等号成立。2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集:不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xax|xR R 且x0R R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc。微点提醒 1应用“零点分区法”的注意点令每个绝对值符号里的
3、代数式等于零,求出相应的根,要把这些根按由小到大进行排序,在各个区间上解不等式时,端点值要不重不漏。2从解集理解不等式恒成立问题- 2 -不等式的解集为 R R 说明不等式恒成立,不等式的解集为,说明其对立面恒成立。小|题|快|练1设ab0,a,bR R,那么正确的是( )A|ab|ab|B|ab|a|b|C|ab|ab|D|ab|a|b|【解析】 解法一:特殊值法。取a1,b2,则满足ab20,这样有|ab|12|1,|ab|1(2)|3,|a|b|123,|a|b|12|1,只有选项 C 成立,而 A、B、D 都不成立。故选 C。解法二:由ab0 得a,b异号,易知|ab|ab|,|ab|
4、a|b|,|ab|a|b|,选项 C 成立,A、B、D 均不成立。故选 C。 【答案】 C2若关于x的不等式|xa|k的解集为 R R,则实数k的取值范围为_。【解析】 |x1|x2|3,3|x1|x2|3,k1 的解集。【解析】 (1)f(x)Error!yf(x)的图象如图所示。(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)1 时,可得x1 或x3;当f(x)1 时,可得x 或x5。1 3故f(x)1 的解集为x|15。1 3所以|f(x)|1 的解集为x|x5。1 3- 5 -【答案】 (1)见解析 (2)x|x51 3考点二 含绝对值的不等式的证明【典例 2】 设不等式20,所以|14a
5、b|24|ab|2,故|14ab|2|ab|。【答案】 (1)见解析 (2)|14ab|2|ab|反思归纳 1.利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明。2利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明。3转化为函数问题,数形结合进行证明。【变式训练】 已知x,yR R,且|xy| ,|xy| ,求证:|x5y|1。1 61 4【证明】 |x5y|3(xy)2(xy)|。由绝对值不等式的性质,得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3 2 1。1 61 4即|x5y|1。考点三 含绝对值的不等式的综合应用【典例 3】 (2016全国卷)已知函
6、数f(x)|2xa|a。(1)当a2 时,求不等式f(x)6 的解集;- 6 -(2)设函数g(x)|2x1|。当xR R 时,f(x)g(x)3,求a的取值范围。【解析】 (1)当a2 时,f(x)|2x2|2。解不等式|2x2|26 得1x3。因此f(x)6 的解集为x|1x3。(2)当xR R 时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a。所以当xR R 时,f(x)g(x)3 等价于|1a|a3。当a1 时,等价于 1aa3,无解。当a1 时,等价于a1a3,解得a2。所以a的取值范围是2,)。【答案】 (1)x|1x3 (2)2,)反思归纳 1.不等式恒成立问
7、题的解法若不等式f(x)a在区间D上恒成立,则f(x)maxa;若f(x)a在区间D上恒成立,则f(x)mina。2不等式能成立问题的解法若f(x)a在区间D上能成立,则f(x)mina,若f(x)a在区间D上能成立,则f(x)maxa。【变式训练】 (1)(2016重庆模拟)已知函数f(x)|2x1|,g(x)|ax|。当a1 时,解不等式f(x)g(x)1;当a2 时,若对一切xR R,恒有f(x)g(x)b成立,求实数b的取值范围。(2)已知函数f(x)|x3|x2|。求不等式f(x)3 的解集;若f(x)|a4|有解,求a的取值范围。【解析】 (1)f(x)g(x)1|2x1|x|1,当x 时,不等式(2x1)1 2x1,解得x2;当 a对于一切xR R 恒成立,求实数a的取值范围。解析 由绝对值的几何意义知:|x4|x5|9,则 log3(|x4|x5|)2,所以要使不等式 log3(|x4|x5|)a对于一切xR R 恒成立,则需a2。答案 a23对于任意实数a,b已知|ab|1,|2a1|1,且恒有|4a3b2|m,求实数m的取值范围。解析 因为|ab|1,|2a1|1,所以|3a3b|3, ,|a1 2|1 2所以|4a3b2|3a3b(a1 2)5 2|3a3b| 3 6,|a1 2|5 21 25 2即|4a3b2|的最大值为 6,所以m6。答案 m6
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