高考数学一轮复习第4章平面向量第2讲平面向量的基本定理及坐标表示学案.doc
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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量第章平面向量第 2 2讲平面向量的基本定理及坐标表示学案讲平面向量的基本定理及坐标表示学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 平面向量基本定理如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1,2,使a1e12e2,称 e1,e2 为基底若 e1,e2 互相垂直,则称这个基底为正交基底;若 e1,e2 分别为与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量,则称单位正交基底考点 2 平面向量的坐标表示在直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴
2、正方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,对任一向量 a,有唯一一对实数 x,y,使得:axiyj,(x,y)叫做向量 a 的直角坐标,记作 a(x,y),显然i(1,0),j(0,1),0(0,0)考点 3 平面向量的坐标运算1设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab(x1x2,y1y2),a ab b(x1(x1x2x2,y1y1y2)y2),a(x1,y1),|a|.2设 A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.考点 4 平面向量共线的坐标表示设 a(x1,y1),b(x2,y2),则(1)abx1y2x2y10;(2)若 a0,则与 a 平行的单位向
3、量为.2 / 13必会结论1若 a 与 b 不共线,ab0,则 0.2已知(, 为常数),则 A,B,C 三点共线的充要条件是 1.以上三个条件任取两两组合,都可以得出第三个条件且 1 常被当作隐含条件运用3平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)若 a,b 不共线,且 1a1b2a2b,则12,12.( )(3)在等边三角形 ABC 中,向量与的夹角为 60.( )(4)若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件可表示成.( )答案 (1)
4、 (2) (3) (4)22018郑州一模设向量 a(x,1),b(4,x),若 a,b方向相反,则实数 x 的值是( )A0 B2 C2 D2答案 D解析 由题意可得 ab,所以 x24,解得 x2 或 2,又a,b 方向相反,所以 x2.故选 D.3课本改编已知点 A(1,5)和向量 a(2,3),若3a,则点 B 的坐标为( )A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)答案 D解析 设点 B 的坐标为(x,y),则(x1,y5)由3a,得解得故选 D.42017山东高考已知向量 a(2,6),b(1,)若3 / 13ab,则 _.答案 3解析 ab,26(1)0,解得 3
5、.52015江苏高考已知向量 a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),则 mn 的值为_答案 3解析 manb(2mn,m2n)(9,8),mn253.板块二 典例探究考向突破考向 平面向量基本定理的应用例 1 2018许昌联考在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记,分别为 a,b,则( )B.abA.ab DabCab 答案 B解析 如图,设,.DH而bb,.DH因此,b.由于 a,b 不共线,因此由平面向量的基本定理,得解之得,.故ab.故选 B.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的
6、实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算,基本方法有两种:4 / 13(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简,直至用基底表示为止;(2)将向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程组,利用基底表示向量的唯一性求解【变式训练 1】 如图,已知ABCD 的边 BC,CD 的中点分别是K,L,且e1,e2,试用 e1,e2 表示,.解 设x,y,则x,y.由,得(2),得 x2xe12e2,即 x(e12e2)e1e2,e1e2.同理可得 y(2e1e2),即e1e2.CD考向 平面向量的坐标表示例 2 已知 A(2,4),B(3,1),C(3,4)设a,b,c,
7、且3c,2b,(1)求 3ab3c;(2)求满足 ambnc 的实数 m,n;(3)求 M,N 的坐标及向量的坐标解 由已知得 a(5,5),b(6,3),c(1,8)(1)3ab3c3(5,5)(6,3)3(1,8)(1563,15324)(6,42)(2)mbnc(6mn,3m8n),解得Error!(3)设 O 为坐标原点,3c,3c(3,24)(3,4)(0,20)M(0,20)又2b,2b(12,6)(3,4)(9,2),N(9,2)(9,18)5 / 13触类旁通平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,
8、则应先求向量的坐标(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用【变式训练 2】 2018山东日照一中月考在ABC 中,点 P在 BC 上,点 Q 是 AC 的中点,且2.若(4,3),(1,5),则等于( )B(2,7)A(6,21) D(2,7)C(6,21) 答案 A解析 由题知,(1,5)(4,3)(3,2)又因为点 Q 是 AC 的中点,所以.所以(1,5)(3,2)(2,7)因为2,所以33(2,7)(6,21)故选 A.考向 平面向量共线的坐标表示例 3 2018正定检测已知 a(1,0),b(2,1)(1)当 k 为何值时
9、,kab 与 a2b 共线;(2)若2a3b,amb,且 A,B,C 三点共线,求 m 的值解 (1)a(1,0),b(2,1),kabk(1,0)(2,1)(k2,1),a a2b2b(1,0)(1,0)2(2,1)2(2,1)(5,2)(5,2),kab 与 a2b 共线,2(k2)(1)50,k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)(1,0)m(2,1)(2m1,m)BCA,B,C 三点共线,6 / 138m3(2m1)0,m.触类旁通利用两向量共线解题的技巧(1)一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所求向量为 a(R),然后结合其他条件列出关于 的方程,求出 的值后代
10、入 a 即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,那么利用“若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式训练 3】 平面内给定三个向量 a(3,2),b(1,2),c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m,n;(2)若(akc)(2ba),求实数 k;(3)若 d 满足(dc)(ab),且|dc|,求 d 的坐标解 (1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1),解得Error!(2)akc(34k,2k),2ba(5,2),由题意得 2(34k)(5)(2k)0,解得 k.(3)设 d(x,y),则 dc(
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