高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用教师用书理.doc
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1、- 1 -第九节第九节 函数模型及其应用函数模型及其应用2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。2016,全国卷,4,5 分(用函数图象刻画变化过程)2015,北京卷,8,5 分(用函数图象刻画变化过程)2014,湖南卷,8,5 分(平均增长率问题)2014,四川卷,13,5 分(指数函数模型的应用)1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点;2.常与函数
2、的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题,考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。微知识 小题练- 2 -自|主|排|查1三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行随n值变化而不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0)与
3、对数函数相关模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0 且a1,b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a,b,n为常数,a0)微点提醒 1 “直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢。2充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。3易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 1P59A 组 T6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品
4、的产量y随年数x变化的函数解析式为( )Aya(1p%)x(0g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)【解析】 由图象知,当x(4,)时,增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)。故选 B。【答案】 B2一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )A. B.C. D.【解析】 由题意知h205t(0t4),故选 B。- 4 -【答案】 B3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万
5、元)。一万件售价是 20 万元,为获取最大利润,该企1 2业一个月应生产该商品数量为( )A36 万件 B18 万件C22 万件 D9 万件【解析】 利润L(x)20xC(x) (x18)2142,当x18 万件时,L(x)有最大1 2值。故选 B。【答案】 B4某工厂采用高科技技术,在 2 年内产值的月增长率都是a,则这 2 年内第 2 年某月的产值比第 1 年相应月产值的增长率为( )Aa121 B(1a)121Ca Da1【解析】 不妨设第 1 年 8 月份的产值为b,则 9 月份的产值为b(1a),10 月份的产值为b(1a)2,以此类推,到第 2 年 8 月份是第 1 年 8 月份后
6、的第 12 个月,即一个时间间隔是 1 个月,这里跨过了 12 个月,故第 2 年 8 月份产值是b(1a)12。又由增长率的概念知,这 2 年内的第 2 年某月的产值比第 1 年相应月产值的增长率为:(1a)b1a12b b121。【答案】 B5一个容器装有细砂a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细砂量为yaebt(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的砂子,则再经过_min,容器中的砂子只有开始时的八分之一。【解析】 当t0 时,ya,当t8 时,yae8ba,所以 e8b ,容器中的砂子1 21 2只有开始时的八分之一时,即yaebta,
7、ebt (e8b)3e24b,则t24,所以再1 81 8经过 16 min 容器中的砂子只有开始时的八分之一。【答案】 16微考点 大课堂考点一 用函数图象的变化刻画变化过程【典例 1】 (2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年- 5 -中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ,B 点表示四月的平均最低气温约为 5 。下面叙述不正确的是( )A各月的平均最低气温都在 0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20 的月份有 5 个【解析】 由图形可得各月的平均最低
8、气温都在 0 以上,A 正确;七月的平均温差约为 10 ,而一月的平均温差约为 5 ,故 B 正确;三月和十一月的平均最高气温都在 10 左右,基本相同,C 正确;平均最高气温高于 20 的月份只有 2 个,D 错误。故选 D。【答案】 D反思归纳 当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案。【变式训练】 (2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是( )- 6 -A消耗 1 升
9、汽油,乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时。相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【解析】 对于 A 选项:由题图可知,当乙车速度大于 40 km/h 时,乙车每消耗 1 升汽油,行驶里程都超过 5 km,则 A 错;对于 B 选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则 B 错;对于 C 选项:甲车以 80 千米/小时的速度行驶时,燃油效率为 10 km/L,则行驶 1 小时,消耗了汽油 801108
10、(升),则 C 错;对于 D 选项:当行驶速度小于 80 km/h 时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则 D 对。故选 D。【答案】 D考点二 已知函数模型的实际问题【典例 2】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2。其中 3x6,a为常数。已知a x3销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。(1)求a的值;(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获- 7 -得的利润最大。【解析】 (1)因为x5 时,y11,所以
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