高考数学试题分项版解析专题17椭圆及其综合应用理.doc
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1、1 / 35【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1717 椭圆及其椭圆及其综合应用理综合应用理1.【2017 浙江,2】椭圆的离心率是22 194xyABCD13 35 32 35 9【答案】B【解析】试题分析:,选 B945 33e2.【2017 课标 3,理 10】已知椭圆 C:,(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A222221xy ab为直径的圆与直线相切,则 C 的离心率为20bxayabABCD6 33 32 31 3【答案】A【解析】试题分析:以线段为直径的圆的圆心为坐标原点,半径为,圆的方程为,12A
2、 A0,0ra222xya直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即:,20bxayab 222abda ab 整理可得,即,223ab222223,23aacac2 / 35从而,椭圆的离心率,2 2 22 3cea26 33cea故选 A.【考点】椭圆的离心率的求解;直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:求出 a,c,代入公式 e;c a只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2a2c2转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式
3、),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).3.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1:+y2=1(m1)与双曲线 C2:y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则()22x m22x nAmn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Dmb0) ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(1, ) ,P4(1, )中恰有三点在椭圆 C 上.2222=1xy ab3 23 2(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点.【解析】试题分析:(1)
4、根据,两点关于 y 轴对称,由椭圆的对称性可知 C 经过,两点.另外知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出 C 的方程;(2)先设直线 P2A 与直线 P2B的斜率分别为 k1,k2,在设直线 l 的方程,当 l 与 x 轴垂直,通过计算,不满足题意,再设设 l:() ,将代入,写出判别式,韦达定理,表示出,根据列出等式表示出和的关系,判断出直线恒过定点.3P4P3P4P22221113 4abab134,P P Pykxm1m ykxm2 214xy12kk121kk m试题解析:(1)由于,两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过,两点.
5、3P4P3P4P又由知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.22221113 4abab因此,解得.222111314bab 2241ab5 / 35故 C 的方程为.2 214xy由题设可知.22=16(41)0km设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=,x1x2=.28 41km k2244 41m k 而12 12 1211yykkxx1212122(1)()kx xmxx x x.由题设,故.121kk 1212(21)(1)()0kx xmxx即.222448(21)(1)04141mkmkmkk解得.1 2mk 当且仅当时, ,欲使 l:,即,1m
6、0 1 2myxm 11(2)2myx 所以 l 过定点(2, )1【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.8.【20178.【2017 课标课标 IIII,理,理】设设 O O 为坐标原点,动点为坐标原点,动点 M M 在椭圆在椭圆 C C:上,过:上,过 M M作作 x x 轴的垂线,垂足为轴的垂线,垂足为 N N,点,点 P P 满足。满足。2 212xy2NPNM (1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线上,且。证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。3x 1OP PQ 【答案】(1) 。222xy(2)证明略。【解析】6 / 35试题分析
7、:(1)设出点 P 的坐标,利用得到点 P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。2NPNM 222xy(2)利用可得坐标关系,结合(1)中的结论整理可得,即,据此即可得出题中的结论。1OP PQ 2231mmtnn0OQ PF :OQPF 试题解析:(1)设,设, 。00,P x yM xy0,0N x00,0,NPxxyNMy 由得。2NPNM 002,2xx yy因为在 C 上,所以。00,M xy22 122xy因此点 P 的轨迹方程为。222xy(2)由题意知。设,则1,0F 3,QtP m n3,1,33OQtPFmnOQ PFmtn ,,3,OPm nPQm tn 。由得,
8、又由(1)知,故1OP PQ :2231mmtnn222mn330mtn。所以,即。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ的直线过 C 的左焦点 F。0OQ PF :OQPF 【考点】轨迹方程的求解;直线过定点问题。9.【2017 山东,理 21】在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦距为.xOyE22221xy ab0ab2 2()求椭圆的方程;E()如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别7 / 35为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.13 2yk xE,A BCEOC2k12
9、2 4k k MOC:2:3MCAB M:MC,OS OTM:,S TSOT【答案】 (I).2 212xy()的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.SOT312 2k 【解析】试题分析:(I)本小题由,确定即得.2 2cea22c , a b()通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理,应用弦长公式确定及2 211,2 3,2xyyk x |AB圆的半径表达式.M试题解析:(I)由题意知, ,所以,2 2cea22c 2,1ab因此椭圆的方程为.E2 212xy()设,联立方程1122,A x yB xy2 211,2 3,2xyyk x 得,由题意知,且,22 11424 310k
10、xk x 0 1 121222 112 31,212 21kxxx xkk 所以.22 112 1122 11181221kkABkxxk由题意可知圆的半径为M22 11 2 111 82 2 321kkrk由题设知,所以因此直线的方程为.122 4k k 2 12 4kkOC12 4yxk联立方程得,因此.2 211,2 2,4xyyxk 2 221 22 1181,1414kxykk2 221 2 118 14kOCxyk8 / 35由题意可知,而1sin21SOTr OCrOC r2 1 2 122 11 2 118 141182 2 321k OCkrkk k 2 122 11123
11、2 4141kkk ,令,则,2 112tk 11,0,1tt因此, 22233131122211211192 24OCt rtt ttt 当且仅当,即时等号成立,此时,所以,因此,11 2t2t 12 2k 1sin22SOT26SOT所以最大值为.综上所述:的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.SOT3SOT312 2k 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3. 二次函数的图象和性质.10.【2017 天津,理 19】设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.22221(0)xyababFA1 2A22(0)ypx
12、pF1 2(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点) ,直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.PQAPB B ABQDAPD6 2AP9 / 35【答案】 (1) ,.(2) ,或.2 2413yx 24yx3630xy3630xy【解析】试题分析:由于为抛物线焦点,到抛物线的准线的距离为,则,又椭圆的离心率为,求出,得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则,设直线方程为设,解出两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标,写出所在直线方程,求出点的坐标,最后根据的面积为解方程求出,得出直线的方程.AF1 21 2ac1 2, ,c a b(
13、1,0)AAP1(0)xmymPQ、APBBQDAPD6 2mAP试题解析:()解:设的坐标为.依题意, , , ,解得, , ,于是.所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.F(,0)c1 2c a2pa1 2ac1a 1 2c 2p 2223 4bac2 2413yx 24yx()解:设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故.将与联立,消去,整理得,解得,或.由点异于点,可得点.由,可得直线的方程为,令,解得,故.所以.又因为的面积为,故,整理得,解得,所以.AP1(0)xmym1x 2( 1,)Pm 2( 1,)Qm1xmy2 2413yx 22(34)60mymy0y 26 34mym
14、B A222346(,)3434mmBmm 2( 1,)QmBQ22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm0y 2223 32mxm2223(,0)32mDm 2222236| 13232mmADmm APD6 2221626 232|2m mm232 6 | 20mm 6|3m 6 3m 所以,直线的方程为,或.AP3630xy3630xy【考点】直线与椭圆综合问题11.【2017 江苏,17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分10 / 35别为, ,离心率为,两准线之间的距离为 8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.xOy2222
15、:1(0)xyEabab1F2F1 2P E1F1PF2F2PF(1)求椭圆的标准方程;E(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.EQE P【答案】 (1) (2)22 143xy4 7 3 7(,)77【解析】解:(1)设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为,两准线之间的距离为 8,所以, ,1 21 2c a228a c解得,于是,2,1ac223bac因此椭圆 E 的标准方程是.22 143xy(2)由(1)知, ,.1( 1,0)F 2(1,0)F设,因为点为第一象限的点,故.00(,)P xyP000,0xy当时,与相交于,与题设不符.01x 1F当时,直线的斜率为,直线的
16、斜率为.01x 1PF001y x 2PF001y x 因为, ,所以直线的斜率为,直线的斜率为,11lPF22lPF001x y001x y从而直线的方程:,001(1)xyxy 直线的方程:. 001(1)xyxy 11 / 35由,解得,所以.2 0 0 01,xxxyy 2 0 0 01(,)xQxy因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.Q2 0 0 01xyy 22 001xy22 001xy又在椭圆 E 上,故.P22 00143xy由,解得;,无解.22 0022 001143xyxy004 73 7,77xy22 0022 001143xyxy因此点 P 的坐标为.4 7 3 7
17、(,)7712.【2016 高考新课标 1 卷】 (本小题满分 12 分)设圆的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.222150xyx(I)证明为定值,并写出点 E 的轨迹方程;EAEB(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.【答案】 () () (II)13422 yx0y)38 ,12【解析】试题分析:根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程;(II)分斜率是否存
18、在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为 x 斜率 k 的函数,再求最值.EAEB12 / 35)0)(1(kxky试题解析:()因为,故,|ACAD ACEB/ADCACDEBD所以,故.|EDEB |ADEDEAEBEA又圆的标准方程为,从而,所以.A16) 1(22yx4|AD4| EBEA由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:)0 , 1(A)0 , 1 (B2|ABE13422 yx().0y过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以)0 , 1 (Bm) 1(1xkyAm122k1344) 12(42|22 222 kkkPQ.故四边形的面
19、积MPNQ341112|212kPQMNS.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.xMPNQ)38 ,12当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为 12.x1x3|MN8|PQMPNQ综上,四边形面积的取值范围为.MPNQ)38 ,12考点:圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.13 / 3513.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 14
20、分)平面直角坐标系中,椭圆 C: 的离心率是,抛物线 E:的焦点 F 是 C的一个顶点.(I)求椭圆 C 的方程;xOy222210xyabab3 222xy(II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线与 C 交与不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x轴的直线交于点 M.(i)求证:点 M 在定直线上;(ii)直线与 y 轴交于点 G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.PFG1SPDM2S12S S【答案】 ();() (i)见解析;(ii)的最大值为,此时点的坐标为1422yx12S S49P)
21、41,22(【解析】试题分析:()根据椭圆的离心率和焦点求方程;() (i)由点P 的坐标和斜率设出直线 l 的方程和抛物线联立,进而判断点 M 在定直线上;(ii)分别列出,面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点 P 的坐标.1S2S试题解析:() (i)设,由可得,)0)(2,(2 mmmPyx22xy /所以直线的斜率为,m14 / 35因此直线的方程为,即.)(22 mxmmy22mmxy设,联立方程),(),(),(002211yxDyxByxA2222 41mymxxy 得,014) 14(4322mxmxm由,得且,0520 m1442321mmxx因此,142 223 21
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