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1、1 / 7【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习专题六概率与统计第精选高考数学二轮复习专题六概率与统计第2 2 讲随机变量及其分布练习理讲随机变量及其分布练习理一、选择题1.(2014新课标全国)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得 P0.8.答案 A2.(2015全国
2、卷)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312解析 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C0.62(10.6),投中 3 次的概率为 P(k3)0.63,所以通过测试的概率PP(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选 A.答案 A3.(2017合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑2 / 7球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取 5 次,设摸得白球数为X,已知 E(X)3,则
3、 D(X)等于( )A. B. C. D.2 5解析 根据题目条件,每次摸到白球的概率都是 p,满足二项分布,则有 E(X)np53,解得 m2,那么 D(X)np(1p)5.答案 B4.(2016北京卷)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析 若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在
4、甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除 A、D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除 C;故选B.3 / 7答案 B5.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.则有 4 人参与摸奖(每人一次),则恰好有 3 人获奖的概率是( )A. B.
5、C. D.4 625解析 若摸出的两球中含有 4,必获奖,有 5 种情况;若摸出的两球是 2,6,也能获奖.故获奖的情形共 6 种,获奖的概率为.现有 4 人参与摸奖,恰有 3 人获奖的概率是 C.2 66 C答案 B二、填空题6.(2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X的均值是_.解析 由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 P1,2 次独立试验成功次数 X 满足二项分布 XB,则 E(X)2.答案 3 27.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6 个面分别标有1,2,3,4,5,6),现
6、定义数列 anSn 是其前 n 项和,则S53 的概率是_.解析 该试验可看作一个独立重复试验,结果为1 发生的概率为,结果为 1 发生的概率为,S53 即 5 次试验中1 发生一次,1 发4 / 7生四次.故其概率为 C.答案 10 2438.(2017金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如下表:同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次,设 表示命中的次数,若 E(),则 a_.解析 可取值 0,1,2,3.P(0)0.5(1a)(1a)0.5(1a)2;P(1)0.5(1a)(1a)20.5a(1a)0.5(1a2);P(2)0.5a220.5a(1a)0.5a(2
7、a);P(3)0.5aa0.5a2.E()P(0)0P(1)1P(2)2P(3)3.即 0.5(1a2)a(2a)1.5a2,解得 a.答案 1 3三、解答题9.(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:上年度出险次数0123455 / 7保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,
8、求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解 (1)设 A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费” ,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故 P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)0.10.050.15.又 P(AB)P(B),故 P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP 0.300.150.200.20
9、0.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.10.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)203040106 / 7(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T);(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.解 (1)由统计结果可得 T 的
10、频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而 E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟).(2)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同,设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70分钟”.法一 P(A)P(T1T270)P(T125,T245)P(T130,T240)P(T135,T235)P(T140,T230)0.210.310
11、.40.90.10.50.91.法二 P(A)P(T1T270)P(T135,T240)P(T140,T235)P(T140,T240)0.40.10.10.40.10.10.09,故 P(A)1P(A)0.91.11.(2016北京区二模)张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家到公司上班的路上有 L1,L2 两条路线(如图所示),7 / 7L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(1)若走 L1 路线,求最多遇到 1 次红灯的概率;(2)若走 L2 路线,求遇到红灯的次数 X 的数学期望;(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.解 (1)设“走 L1 路线最多遇到 1 次红灯“为事件 A,则P(A)CC.所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为.(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2.P(X0),P(X1),P(X2).故随机变量 X 的分布列为X012P1 109 209 20E(X)012.(3)设选择 L1 路线遇到红灯的次数为 Y,随机变量 Y 服从二项分布,即 YB,所以 E(Y)3.因为 E(X)E(Y),所以选择 L2 路线上班最好.
限制150内