高考数学二轮复习难点2-2导数与不等式相结合问题教学案文.doc
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1、1 / 7【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-22-2 导数与不等式相结合问导数与不等式相结合问题教学案文题教学案文导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛,教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识,但是高考数学是以能力立意,所以往往以数列、方程、不等式为背景,综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力,面对这种类型的题目,考生会有茫然,无所适从的感觉,究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路,本文介绍利用导数解决不等式问题的思路,以飨读者.1.1.利用导数证明不等式利用导数证明不等式
2、在初等数学中,我们学习过好多种证明不等式的方法,比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等,有些不等式,用初等方法是很难证明的,但是如果用导数却相对容易些,利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过研究函数的性质达到证明的目的.1.11.1利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式构造函数,利用函数的单调性证明不等式例例 1.1. 【2018【2018 广西贺州桂梧高中联考广西贺州桂梧高中联考】已知函数已知函数. . 2232ln42f xxxxxx(1)若在上递增,求的取值范围; f x,1a aa(2)证明: . 24fxx思路分析:(思路分析:(1 1)要使在上递增,只需,且不恒等于)
3、要使在上递增,只需,且不恒等于 0 0,所以先求得函数的增区,所以先求得函数的增区间,间, 是增区间的子区间是增区间的子区间. .(2 2)当时,)当时, , 显然成立显然成立. . 当时,即证明当时,即证明 ,令(),令() ,2 / 7即求,由导数可证即求,由导数可证. . f x,1a a 0fx,1a a1 2x 240x 24fxx102x 2422ln124fxxxxx0 22ln124g xxxx102x min0g x,从而在上递减,即.综上, .112ln442ln2022g 0gx g x10,2 min11 ln202g xg 0g x 24fxx 24fxx点评:本题主
4、要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.1.21.2 通过求函数的最值证明不等式通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中,可以依此不等式的特点构造函数,进而求函数的最在对不等式的证明过程中,可以依此不等式的特点构造函数,进而求函数的最值,当该函数的最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是永远是成立的,值,当该函数的
5、最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是永远是成立的,从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来. .例例 2.2. 【甘肃省甘肃省市市 20182018 届第一次质量检测届第一次质量检测】已知函数已知函数. . 21xf xxe3 / 7(1)若函数在区间上单调递增,求的取值范围; f x, a f a(2)设函数,若存在,使不等式成立,求的取值范围. xg xexp 01,xe 000g xf xxp思路分析:(思路分析:(1 1)由,得,所以在上单调递增,可得,从而得;()由,得,所以在上单调递增,可得,从而得;(2 2)存在,使)存在,使不等式
6、成立,等价于,令,利用导数研究函数的单调性,求出,只需即可得结不等式成立,等价于,令,利用导数研究函数的单调性,求出,只需即可得结果果. . 20xfxxe0x f x0,0a 02f af 01,xe 0 00021xg xxex0 023xpxe 2xh xxe e h x minh x minph x点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值,考查了函数的思想和考生的发散思维能力,属于中档题.利用导数研究函数的单调性,首先求出函数的定义域,忽略定义域是最常见的错误;证明不等式通过构造新函数,研究新函数的单调性,求得其最值是最常用的思想方法,本题解答的难点是(3)中通过构造新
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