高考数学大一轮复习升级增分训练构造辅助函数求解导数问题文.doc
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1、1升级增分训练升级增分训练 构造辅助函数求解导数问题构造辅助函数求解导数问题1设函数f(x)x2ex1ax3bx2,已知x2 和x1 为f(x)的极值点(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设g(x)x3x2,比较f(x)与g(x)的大小2 3解:(1)因为f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b),又x2 和x1 为f(x)的极值点,所以f(2)f(1)0,因此Error!解得Error!(2)因为a ,b1,1 3所以f(x)x(x2)(ex11),令f(x)0,解得x12,x20,x31因为当x(,2)(0,1)时,f(x)0;当x(2,0)
2、(1,)时,f(x)0所以f(x)在(2,0)和(1,)上是单调递增的;在(,2)和(0,1)上是单调递减的(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x21 3故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x),令h(x)ex1x,则h(x)ex11令h(x)0,得x1,因为当x(,1时,h(x)0,所以h(x)在(,1上单调递减;故当x(,1时,h(x)h(1)0;因为当x1,)时,h(x)0,所以h(x)在1,)上单调递增;故x1,)时,h(x)h(1)0所以对任意x(,),恒有h(x)0;又x20,因此f(x)g(x)02故对任意x(,),恒有f(x)g(x)2(2015北京高考)已知函数f
3、(x)ln1x 1x(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时,f(x)2;(xx3 3)(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值(xx3 3)解:(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)(1x1),所以f(x),f(0)21 1x1 1x又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x(2)证明:令g(x)f(x)2,(xx3 3)则g(x)f(x)2(1x2)2x4 1x2因为g(x)0(0g(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2(xx3 3)(3)由(2)知,当k2 时,f(x)k对
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