高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书理.doc

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1、- 1 -第三节第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例平面向量的数量积与平面向量的应用举例2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2016，全国卷，13,5 分(向量的几何意义)2016，全国卷，3,5 分(向量数量积的坐标运算)2016，全国卷，3,5 分(向量夹角问题)2

2、016，天津卷，7,5 分(向量的数量积和线性运算)2015，全国卷，15,5 分(向量的数量积运算)高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值 512 分。微知识 小题练自|主|排|查1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量a a和b b，作a a，b b，则AOB就是向量a a与b b的夹角。OAOB范围：设是向量a a与b b的夹角，则 0180。共线与垂直：若0，则a a与b b同向共线；若180，则a a与b b反向共线；若

3、90，则a a与b b垂直。(2)平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a a与b b，它们的夹角为，则数量|a a|b b|cos叫做a a与b b的数量积(或内积)，记作a ab b，即a ab b|a a|b b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0a a0。几何意义：数量积a ab b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘积。2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为向量a a，b b的夹角。- 2 -数量积：a ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2。模：|a a|。a aa ax

4、2 1y2 1夹角：cos。a ab b |a a|b b|x1x2y1y2x2 1y2 1x2 2y2 2两非零向量a ab b的充要条件：a ab b0x1x2y1y20。|a ab b|a a|b b|(当且仅当a ab b时等号成立)|x1x2y1y2| 。x2 1y2 1x2 2y2 23平面向量数量积的运算律(1)a ab bb ba a(交换律)。(2)a ab b(a ab b)a a(b b)(结合律)。(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律)。微点提醒 1a a在b b方向上的投影与b b在a a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。2对于两个非零向量

5、a a与b b，由于当0时，a ab b0，所以a ab b0 是两个向量a a，b b夹角为锐角的必要而不充分条件；a ab b0 也不能推出a a0 或b b0，因为a ab b0 时，有可能a ab b。3在实数运算中，若a，bR R，则|ab|a|b|；若abac(a0)，则bc。但对于向量a a，b b却有|a ab b|a a|b b|；若a ab ba ac c(a a0)，则b bc c不一定成立，原因是a ab b|a a|b b|cos，当 cos0 时，b b与c c不一定相等。4向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ab b)c c不一定等于a a(b bc c)，

6、这是由于(a ab b)c c表示一个与c c共线的向量，而a a(b bc c)表示一个与a a共线的向量，而c c与a a不一定共线。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 4P107例 6 改编)已知|a a|2，|b b|4，a ab b4，则a a与b b的夹角3_。【解析】 因为a ab b|a a|b b|cos，所以 cos，a ab b |a a|b b|4 32 432又因为 0180，故30。【答案】 302(必修 4P105例 4 改编)已知a a(1,2)，b b(3,4)，若a akb b与a akb b互相垂直，则实数k_。【解析】 由已知a a(1,2)，b b(

7、3,4)，- 3 -若互相垂直，则(a akb b)(a akb b)0，即a a2k2b b20，即 525k20，即k2 ，1 5所以k。55【答案】 55二、双基查验1下列四个命题中真命题的个数为( )若a ab b0，则a ab b；若a ab bb bc c，且b b0，则a ac c；(a ab b)c ca a(b bc c)；(a ab b)2a a2b b2。A4 个 B2 个 C0 个 D3 个【解析】 a ab b0 时，a ab b，或a a0，或b b0。故命题错。a ab bb bc c，b b(a ac c)0。又b b0，a ac c，或b b(a ac c)。

8、故命题错误。a ab b与b bc c都是实数，故(a ab b)c c是与c c共线的向量，a a(b bc c)是与a a共线的向量，(a ab b)c c不一定与a a(b bc c)相等。故命题不正确。(a ab b)2(|a a|b b|cos)2|a a|2|b b|2cos2|a a|2|b b|2a a2b b2。故命题不正确。故选 C。【答案】 C2在ABC中，AB3，AC2，BC，则( )10ABACA B 3 22 3C. D.2 33 2【解析】 在ABC中，cosBAC ，AB2AC2BC2 2ABAC9410 2 3 21 4|cosBAC32 。故选 D。ABAC

9、ABAC1 43 2【答案】 D- 4 -3已知平面向量a a(1，3)，b b(4，2)，a ab b与a a垂直，则( )A1 B1 C2 D2【解析】 a ab b(4，32)。a ab b与a a垂直，(a ab b)a a10100。1。故选 A。【答案】 A4已知单位向量e e1，e e2的夹角为，且 cos ，若向量a a3e e12e e2，则1 3|a a|_。【解析】 |a a|2a aa a(3e e12e e2)(3e e12e e2)9|e e1|212e e1e e24|e e2|291211 491 3|a a|3。【答案】 35(2016大连模拟)若a a，b

10、b满足|a a|，a a(a ab b)1，|b b|1，则a a，b b的夹角为2_。【解析】 因为|a a|，2所以a a(a ab b)a a2a ab b2a ab b1，即a ab b1。设a a，b b的夹角为，则 cos。a ab b |a a|b b|12 122因为0，所以 。3 4【答案】 3 4- 5 -第一课时第一课时 平面向量的数量积平面向量的数量积微考点 大课堂考点一 平面向量数量积运算【典例 1】 (1)已知a a(2,3)，b b(4,7)，则a a在b b上的投影为( )A. B. 13135C. D.65565(2)(2016天津高考)已知ABC是边长为 1

11、 的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为( )AFBCA B. 5 81 8C. D.1 411 8【解析】 (1)|a a|cos。故选 C。a ab b |b b|2 43 742721365655(2)如图，设m m，n n。根据已知得，m m，所ACABDF3 4以m mn n，m mn n，AFADDF3 41 2BC(m mn n)AFBC(3 4m m1 2n n)m m2n n2m mn n 。故选 B。3 41 21 43 41 21 81 8【答案】 (1)C (2)B反思归纳 1.当已知向量的模和夹角时，可利用定义法

12、求解，即a ab b|a a|b b|cos。2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y2。- 6 -【变式训练】 (1)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4。若点M，N满足ABAD3，2，则( )BMMCDNNCAMNMA20 B15 C9 D6(2)(2016蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为 1，点E是AB边上的动点。的最DEDC大值为_。【解析】 (1)在平行四边形ABCD内，易得，AMAB3 4ADNM1 3AB1 4AD所以AMNM(AB34AD) (1 3AB14AD)1 3(AB34AD) (AB3

13、4AD) 36161239。故选 C。1 3AB29 16AD21 33 16(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)，所DEDC以t1。DEDC【答案】 (1)C (2)1考点二 平面向量的模与夹角问题【典例 2】 (1)(2017长沙模拟)已知向量a a(1,2)，a ab b5，|a ab b|2，则|b b|5等于( )A. B2 55C5 D25- 7 -(2)(2016东北三校联考)已知向量a a，b b的夹角为 60，且|a a|2，|b b|1，则向量a a与向量a a2b

14、b的夹角等于( )A150 B90C60 D30【解析】 (1)由a a(1,2)，可得a a2|a a|212225。因为|a ab b|2，5所以a a22a ab bb b220，所以 525b b220，所以b b225，所以|b b|5。故选 C。(2)解法一：由于a a(a a2b b)a a22a ab b|a a|22|a a|b b|cos60422 6，|a a2b b|2，所以1 2a a2b b2a a24a ab b4b b24443cosa a，a a2b b，所以a a，a a2b b30。故选 D。a aa a2b b |a a|a a2b b|62 2 332

15、解法二：|a a2b b|2444a ab b88cos6012，|a a2b b|2，3a a(a a2b b)|a a|a a2b b|cos22cos4cos。33又a a(a a2b b)a a22a ab b44cos606，4cos6，cos，0，180，33230。故选 D。【答案】 (1)C (2)D反思归纳 1.平面向量夹角的求法若a a，b b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 cos(夹角公式)，所以平a ab b |a a|b b|面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。2平面向量的模的解题方法(1)若向量a a是以坐标形式出现的，求向量a a的模可直接利用|a

16、a|。x2y2(2)若向量a a，b b是非坐标形式出现的，求向量a a的模可应用公式|a a|2a a2a aa a，或|a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。【变式训练】 (1)(2016全国卷)已知向量，则ABC( )BA(1 2，32)BC(32，12)A30 B45 C60 D120- 8 -(2)(2016衡水中学二调)已知单位向量a a，b b，若a ab b0，且|c ca a|c c2b b|，5则|c c2a a|的取值范围是( )A1,3 B2，32C. D.6 55，2 26 55，3【解析】 (

17、1)由两向量的夹角公式，可得cosABC，则ABC30。故选 A。BABC|BA|BC|1 232321 2 1 132(2)不妨设a a(1,0)，b b(0,1)，c c(x，y)，所以c ca a(x1，y)，c c2b b(x，y2)，所以，即(x，y)到A(1,0)和x12y2x2y225B(0,2)的距离和为，即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c c2a a|，表5x22y2示(2，0)到线段AB上点的距离，最小值是点(2，0)到直线 2xy20 的距离，|c c2a a|min，最大值为(2,0)到(1,0)的距离是 3，所以|c c2a a|的取值范围是656 55

18、。故选 D。6 55，3【答案】 (1)A (2)D考点三 平面向量的垂直问题【典例 3】 (1)已知向量a a(k,3)，b b(1,4)，c c(2,1)，且(2a a3b b)c c，则实数k( )A B0 9 2C3 D.15 2(2)已知向量与的夹角为 120，且|3，|2。若，且ABACABACAPABAC，则实数的值为_。APBC【解析】 (1)因为 2a a3b b(2k3，6)，(2a a3b b)c c，所以(2a a3b b)c c2(2k3)60，解得k3。故选 C。(2)，由于，BCACABAPBC所以0，APBC即()()ABACACAB- 9 -22(1)ABAC

19、ABAC94(1)320，。(1 2)7 12【答案】 (1)C (2)7 12【变式训练】 ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a a，b b满足2a a，2a ab b，则下列结论正确的是( )ABACA|b b|1 Ba ab bCa ab b1 D(4a ab b)BC【解析】 因为(2a ab b)2a ab b，BCACAB所以|b b|2，故 A 错误；由于2a a(2a ab b)4|a a|22a ab b22 2，ABAC1 2所以 2a ab b24|a a|22，所以a ab b1，故 B，C 错误；又因为(4a ab b)(4a ab b)b b4a ab b|

20、b b|241240，BC(1 2)所以(4a ab b)。故选 D。BC【答案】 D- 10 -微考场 新提升1(2016全国卷)已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，则m( )A8 B6 C6 D8解析 由向量的坐标运算得a ab b(4，m2)，由(a ab b)b b，得(a ab b)b b122(m2)0，解得m8，故选 D。答案 D2(2017衡水模拟)已知|a a|1，|b b|2，a a与b b的夹角为，那么|4a ab b|( ) 3A2 B6 C2 D123解析 |4a ab b|216a a2b b28a ab b1614812cos12

21、。|4a ab b|2。故选 C。 33答案 C3(2016成都模拟)ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足2，若|2，|3，BAC90，则的值为( )AM MCMP PBABACAPBCA1 B 2 3C. D14 31 3解析 由题知，BCACABMBABAMAB2 3ACAPAMMPAM2 3MB2 3AB2 9AC()22 2 。故选APBC(2 3AB29AC)ACAB2 3ABAC2 3AB2 9AC2 9ABAC8 32 3B。答案 B4(2016合肥联考)已知|a a|1，|b b|2，a a与b b的夹角为 60，则a ab b在a a方向上的投影为_。解析 |

22、a ab b|2a a2b b22a ab b14212 7，|a ab b|，cosa ab b，a a1 27- 11 -。a ab b在a a方向上的投影为|a ab b|cosa ab b，a aa ab ba a |a ab b|a a|1172 772。72 77答案 25在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足3|1，则|的取值范围是_。CDOAOBOD解析 设D(x，y)，则(x3)2y21，(x1，y)，故OAOBOD3|，|的最大值即为圆(x3)2y21 上OAOBODx12y 32OAOBOD的点到点(1，)距离的最大值，其最大值为

23、圆(x3)2y21 的圆心到点(1，)的距33离加上圆的半径，即11，最小值为3120 32711，故取值范围为1，1。3120 32777答案 1，177第二课时第二课时 平面向量的应用平面向量的应用微考点 大课堂考点一 平面向量在函数、不等式中的应用【典例 1】 已知向量a a，b b满足|a a|2，|b b|1，且对一切实数x，|a axb b|a ab b|恒成立，则a a，b b的夹角的大小为_。【解析】 由题意得|a axb b|a ab b|a a22xa ab bx2b b2a a22a ab bb b2x22a ab bx12a ab b0，所以 4(a ab b)24(1

24、2a ab b)0(a ab b1)20，所以a ab b1，cosa a，b b ，即a a与b b的夹角为。a ab b |a a|b b|1 22 3【答案】 2 3反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如：函数单调性、奇偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以- 12 -考查学生分析和解决问题的能力。【变式训练】 (1)已知单位向量a a，b b，满足a ab b，则函数f(x)(xa a2b b)2(xR R)( )A既是奇函数又是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D是奇函数(2)设e e1，e e2是平面内两个不共

25、线的向量，(a1)e e1e e2，be e12e e2(a0，b0)，ABAC若A，B，C三点共线，则 的最小值是( )1 a2 bA2 B4C6 D8【解析】 (1)因为单位向量a a，b b，满足a ab b，所以a ab b0，所以f(x)(xa a2b b)2x24xa ab b4x24。又f(x)(x)24x24f(x)，所以函数f(x)为偶函数。故选 C。(2)因为A，B，C三点共线，所以(a1)(2)1b，所以 2ab2。因为a0，b0，所以 222 4(当且仅当，即1 a2 b2ab 2(1 a2 b)2a bb 2a2a bb 2a2a bb 2aa ，b1 时取等号)。故

26、选 B。1 2【答案】 (1)C (2)B考点二 平面向量在平面几何中的应用母题发散【典例 2】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的( )OPOAABACA内心 B外心C重心 D垂心【解析】 由原等式，得()，即()，根据平行四边形法OPOAABACAPABAC则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的 2 倍，所以点P的轨迹必过ABACADABC的重心。故选 C。【答案】 C【母题变式】 在本典例中，若动点P满足，(0，)，OPOA(AB|AB|AC|AC|)- 13 -则点P的轨迹一定通过ABC的

27、_。【解析】 由条件，得，即，而和OPOA(AB|AB|AC|AC|)AP(AB|AB|AC|AC|)AB|AB|分别表示与，同向的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点AC|AC|ABACAB|AB|AC|AC|APP的轨迹必过ABC的内心。【答案】 内心反思归纳 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。【拓展变式】 如图，RtABC中，C90，其内切圆切AC边于D点，O为圆心。若|2|2，则_。ADCDBOAC【解析】 以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方

28、向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。设直角三角形的内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BEBF，ADAE2，设BEBFx，在 RtABC中，有CB2CA2AB2，即(x1)29(x2)2，解得x3，故B(0,4)。(1，3)(3,0)3。BOAC【答案】 3考点三 平面向量在三角函数中的应用多维探究角度一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用【典例 3】 已知函数f(x)sinx(0)的部分图象如图所3示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若- 14 -0，则函数f(x1)是( )OAOBA周期为 4 的奇函数

29、B周期为 4 的偶函数C周期为 2 的奇函数D周期为 2 的偶函数【解析】 由题图可得A，B，由0 得30，又( 2， 3)(3 2， 3)OAOB32 420， 2f(x)sinx，3 2f(x1)sincosx，它是周期为 4 的偶函数。故选 B。3( 2x1)3 2【答案】 B角度二：平面向量在解三角形中的应用【典例 4】 (2016山西四校联考)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m m(sinA，sinB)，n n(cosB，cosA)，m mn nsin2C。(1)求角C的大小；(2)若 sinA，sinC，sinB成等差数列，且()18，求c边的长。CAABA

30、C【解析】 (1)m mn nsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC,00，0，|0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为( )AFFBBABCAy28x By24xCy216x Dy24x2【解析】 如图，F为线段AB的中点，AFAC，ABC30，AFFB由48 得BC4，则AC4。由中位线性质有pAC2，故抛物线的BABC31 2方程为y24x。故选 B。【答案】 B反思归纳 向量在解析几何中的应用：1载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装” ，解决此类问题时

31、关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。2工具作用：利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。【变式训练】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0。(PC12PQ) (PC12PQ)(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21 的任一条直径，求的最值。PEPF【解析】 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)。由0，得|2 |20，(PC12PQ) (PC12P

32、Q)PC1 4PQ即(x2)2y2 (x8)20，化简得1。1 4x2 16y2 12所以点P在椭圆上，其方程为1。x2 16y2 12(2)()()()()2221，PEPFNENPNFNPNFNPNFNPNPNFNPP是椭圆1 上的任一点，设P(x0，y0)，x2 16y2 12- 17 -则有1，即x16，又N(0,1)，x2 0 16y2 0 122 04y2 0 3所以2x(y01)2y2y017NP2 01 3 2 0 (y03)220。1 3因为y02，2，所以当y03 时，2取得最大值 20，故的最大值为33NPPEPF19；当y02时，2取得最小值为 134(此时x00)，故

33、的最小值为 124。3NP3PEPF3【答案】 (1)1x2 16y2 12(2)最大值为 19，最小值为 1243微考场 新提升1已知向量a a(1，sin)，b b(1，cos)，则|a ab b|的最大值为( )A1 B.2C. D23解析 a a(1，sin)，b b(1，cos)，a ab b(0，sincos)，|a ab b|。02sincos21sin2|a ab b|的最大值为。故选 B。2答案 B2设a a，b b是非零向量，若函数f(x)(xa ab b)(a axb b)的图象是一条直线，则必有( )Aa ab b Ba ab bC|a a|b b| D|a a|b b

34、|解析 f(x)(a ab b)x2(a a2b b2)xa ab b。依题意知f(x)的图象是一条直线，a ab b0，即a ab b。故选 A。答案 A3(2016郴州质检)已知ABC的外心P满足 ()，则 cosA( )AP1 3ABACA. B.1 232C D.1 333- 18 -解析 取BC的中点D，连接AD，PD，则 ()，APADDP1 2ABACDP又 ()，AP1 3ABAC所以 ()。PD1 6ABAC由 ()()0，PDBC1 6ABACACAB得|。又2，所以P又是重心，所以ABC是等边三角形，所以ABACAPPDcosAcos60 。故选 A。1 2答案 A4(2

35、017唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C：x2y24y10 相切于点B，则_。CACB解析 由x2(y2)25，可知圆心C(0,2)，半径r，所以|AC|5，所以|AB|，所以ACB45，所以302122101055CACBcos455。105答案 55在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy，且xy1。若函数f(m)COCACB|m|(mR R)的最小值为，则|的最小值为_。CACB32CO解析 由xy，且xy1，可知A，O，B三点共线，所以|的最小值为ABCOCACBCO边上的高，又ACBC1，即O为AB的中点，且函数f(m)|m|的最小值为，CACB32即点A到BC边的距离为。又AC1，所以ACB120，从而可得|的最小值为 。32CO1 2答案 12