高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书.doc
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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书中的立体几何问题教师用书1多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( )A. B2 C. D.10 3答案 D解析 由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体,该三棱柱的体积为2224,三棱锥的体积为221,所以该几何体的体积为 4,故选 D.2正三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 为 BC 中点,E 为 A1C1 中点,则 DE与平面 A1B1BA 的位置关系为( )A相交 B平行C垂直相交 D不确定答案 B解析 如图取 B1C
2、1 中点为 F,连接 EF,DF,DE,则 EFA1B1,DFB1B,平面 EFD平面 A1B1BA,DE平面 A1B1BA.3(2016沈阳模拟)设 , 是三个平面,a,b 是两条不同直线,有下列三个条件:a,b;a,b;b,a.如果命题“a,b,且_,则 ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)2 / 13答案 或解析 由线面平行的性质定理可知,正确;当 b,a 时,a和 b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,正确故应填入的条件为或.4在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA12AB,则直线 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于_答案 2 3解析
3、以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA12AB2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)设平面 BDC1 的法向量为 n(x,y,z),则 n,n,则令 y2,得平面 BDC1 的一个法向量为 n(2,2,1)设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 ,则 sin |cosn, |.题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AECF,EF 交 BD 于点 H,将DEF 沿EF 折到
4、DEF 的位置(1)证明:ACHD;(2)若 AB5,AC6,AE,OD2,求五棱锥 DABCFE 的体积(1)证明 由已知得 ACBD,ADCD,又由 AECF 得,故ACEF,由此得 EFHD,折后 EF 与 HD 保持垂直关系,即EFHD,所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得.由 AB5,AC6 得 DOBO4,3 / 13所以 OH1,DHDH3,于是 OD2OH2(2)2129DH2,故 ODOH.由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHDH,所以 AC平面 DHD,于是 ACOD,又由 ODOH,ACOHO,所以 OD平面 ABC.又由得 EF.五边形 ABCFE 的面积
5、S683.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V2.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解正三棱锥的高为 1,底面边长为 2,内有一个球与它的四个面都相切(如图)求:(1)这个正三棱锥的表面积;(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为2,则正棱锥侧面的斜高为.S 侧329.S 表S 侧S
6、底9(2)296.4 / 13(2)设正三棱锥 PABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r. VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS 侧rSABCrS 表r(32)r.又 VPABC(2)212,(32)r2,得 r2.S 内切球4(2)2(4016).V 内切球(2)3(922).题型二 空间点、线、面的位置关系例 2 (2016济南模拟)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点(1)求证:平面 ABE平面 B1BCC1;(2)求
7、证:C1F平面 ABE;(3)求三棱锥 EABC 的体积(1)证明 在三棱柱 ABCA1B1C1 中,BB1底面 ABC.因为 AB平面 ABC,所以 BB1AB.又因为 ABBC,BCBB1B,所以 AB平面 B1BCC1.又 AB平面 ABE,所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明 方法一 如图 1,取 AB 中点 G,连接 EG,FG.因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点,5 / 13所以 FGAC,且 FGAC.因为 ACA1C1,且 ACA1C1,所以 FGEC1,且 FGEC1,所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE,C1F
8、平面 ABE,所以 C1F平面 ABE.方法二 如图 2,取 AC 的中点 H,连接 C1H,FH.因为 H,F 分别是 AC,BC 的中点,所以 HFAB,又因为 E,H 分别是 A1C1,AC 的中点,所以 EC1 綊 AH,所以四边形 EAHC1 为平行四边形,所以 C1HAE,又 C1HHFH,AEABA,所以平面 ABE平面 C1HF,又 C1F平面 C1HF,所以 C1F平面 ABE.(3)解 因为 AA1AC2,BC1,ABBC,所以 AB.所以三棱锥 EABC 的体积VSABCAA112.思维升华 (1)证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问
9、题转化为“线线垂直”问题证明 C1F平面 ABE:()利用判定定理,关键是在平面 ABE 中找(作)出直线 EG,且满足 C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面6 / 13平行,则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化(2)计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不能直接用公式时,注意进行体积的转化(2016南京模拟)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB平面 SBC,ABBC,ASAB.过 A 作 AFSB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点求证:(1)平面 EFG平面 ABC;(2)BCSA.证明 (1)由 A
10、SAB,AFSB 知 F 为 SB 中点,则 EFAB,FGBC,又 EFFGF,ABBCB,因此平面 EFG平面 ABC.(2)由平面 SAB平面 SBC,平面 SAB平面 SBCSB,AF平面SAB,AFSB,所以 AF平面 SBC,则 AFBC.又 BCAB,AFABA,则 BC平面 SAB,又 SA平面 SAB,因此 BCSA.题型三 空间角的计算例 3 (2016金华十校调研)如图,在矩形 ABCD 中,已知AB2,AD4,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE1,BF3,将四边形 AEFB 沿 EF 折起,使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上(1)求证:
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