高考数学试题分项版解析专题19立体几何中体积与表面积文.doc
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1、1 / 25【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1919 立体几何立体几何中体积与表面积文中体积与表面积文1.【2017 课标 3,文 9】已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()ABCD3 4 2 4【答案】B【解析】如果,画出圆柱的轴截面,11,2ACAB,所以,那么圆柱的体积是,故选 B.3 2rBC2233124Vr h 【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几
2、何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.2.【2015 高考山东,文 9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(A)2 2 3(B)4 2 3()2 2()4 2【答案】B2 / 25【考点定位】1.旋转体的几何特征;2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算,解答本题的关键,是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题,在考查旋转体的几何特征及几何体的体积
3、计算方法的同时,考查了考生的空间想象能力及运算能力,是“无图考图”的一道好题.3.【2016 高考新课标 1 文数】平面过正文体 ABCDA1B1C1D1 的顶点A,则 m,n 所成角的正弦值为()11/CB D平面ABCDm平面11ABB An平面(A) (B) (C) (D)3 22 23 31 3【答案】A【解析】考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.4.【2017 天津,文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这
4、个球的体积为 .【答案】9 2【解析】试题分析:设正方体边长为,则,226183aa外接球直径为.344279233,3382RaVR【考点】球与几何体的组合体3 / 25【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单,因为正方体的中心就是外接球的球心,对于其他几何体的外接球,再找球心时,注意球心到各个顶点的距离相等,1.若是柱体,球心肯定在中截面上,再找底面外接圆的圆心,过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心,2.若是锥体,可以先找底面外接圆的圆心,过圆心做底面的垂线,再做一条侧棱的中垂线,两条直线的交点就是球心,构造平面几何关系求半径,3.若是三棱锥,三条侧棱两两垂直时,也可补成长方体,长
5、方体的外接球就是此三棱锥的外接球,这样做题比较简单.5.【2015 新课标 2 文 10】已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为 36,则球的表面积为()BA,O90AOBCABCOOA. B. C. D. 36 64144256【答案】C【解析】【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.【名师点睛】由于三棱锥底面 AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.OABCO6.6. 201620
6、16 高考新课标高考新课标文数文数 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,若, , , ,则的最大值是(),则的最大值是()111ABCABCVABBC6AB 8BC 13AA V(A)4 (B)(C)6 (D)9 232 34 / 25【答案】B【解析】试题分析:要使球的体积最大,必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为,故选 BVR3 2334439( )3322R考点:1、三棱柱的内切球;2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向:(1)根据几何体的结构特征,变动态为静态,直观判
7、断在什么情况下取得最值;(2)将几何体平面化,如利用展开图,在平面几何图中直观求解;(3)建立函数,通过求函数的最值来求解7.【2014 全国 2,文 7】正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为( )111ABCABC3DBC11AB DC(A) (B) (C) (D)3 23 2【答案】C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法,属于中档题,求解几何体的底面面积与高是解题的关键,对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理8.【2015 高考新课标 1,文 6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,
8、下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有()5 / 25(A)斛(B)斛(C)斛(D)斛14223666【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r,则,所以,所以米堆的体积为=,故堆放的米约为1.6222,故选 B.12 384r 16 3r 211163 ()5433 320 9 320 9【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以九章算术中的问题为材料,试题背景新颖
9、,解答本题的关键应想到米堆是圆锥,底面周长是两个底面半径与圆的和,根据题中的条件列出关于底面半径的方程,解出底面半径,是基础题.1 41 49.【2017 课标 1,文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为_【答案】36因为平面平面SAC SBC所以平面OA SBC设OAr所以,所以球的表面积为31933rr2436r【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题,是高考中的重点问题,要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系,得到
10、结果,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到6 / 25多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点) ,这样两条直线的交点,就是其外接球的球心,再根据半径,顶点到底面中心的距离,球心到底面中心的距离,构成勾股定理求解,有时也可利用补体法得到半径,例:三条侧棱两两垂直的三棱锥,可以补成长方体,它们是同一个外接球10.【2017 课标 II,文 15】长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在球的
11、球面上,则球的表面积为3,2,1O O【答案】14.【解析】球的直径是长方体的体对角线,所以222232114,414.RSR 【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.11.【2017 江苏,6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 .12,O OO12,O O1VO2V12V
12、 V【答案】3 2【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可7 / 25直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解12【2015 高考四川,文 14】在三棱住 ABCA1B1C1 中,BAC90,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 PA1MN 的体积是_.【答案】1 24【解析】由题意,三棱柱是底面为直角边长为 1 的等腰直
13、角三角形,高为 1 的直三棱柱,底面积为1 2如图,因为 AA1PN,故 AA1面 PMN,故三棱锥 PA1MN 与三棱锥 PAMN 体积相等,三棱锥 PAMN 的底面积是三棱锥底面积的,高为 11 4故三棱锥 PA1MN 的体积为1111 32424【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力、图形分割与转换的能力,考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题,首先要正确画出三棱柱的直观图,包括各个点的对应字母所在位置,结合条件,三棱锥 PA1MN 的体积可以直接计算,但转换为三棱锥 PAMN 的体积,使得计算更为简便,基本上可
14、以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.13.【2016 高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是_cm2,体积是_cm3.【答案】80;40考点:三视图.PC1B1A1NCMBA8 / 25【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题,一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征,再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积14.【2017 课标 II,文 18】如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面 ,PABCDPADABCD01,90 .2ABBCADBADABC (1)证明:直线平面;/ /BCPAD(2)若面积为,求四棱
15、锥的体积.PAD2 7PABCD【答案】 ()见解析()【解析】试题解析:(1)在平面 ABCD 内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又, ,故 BC平面 PAD.BCPAD 平面ADPAD 平面(2)取 AD 的中点 M,连结 PM,CM,由及 BCAD,ABC=90得四边形 ABCM 为正方形,则 CMAD.1 2ABBCAD因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面ABCD=AD,所以 PMAD,PM底面 ABCD,因为,所以 PMCM.CMABCD 底面设 BC=x,则 CM=x,CD=,PM=,PC=PD=2x.取 CD 的中点 N,连结 PN,则
16、PNCD,所以因为PCD 的面积为,所以,解得 x=-2(舍去) ,x=2,于是 AB=BC=2,AD=4,PM=,所以四棱锥 P-ABCD 的体积.9 / 25【考点】线面平行判定定理,面面垂直性质定理,锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.15.【2017 课标 3,文 19】如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,AD=CD(1)证明:ACBD;(2)已知ACD 是直角三角形,AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不
17、重合的点,且 AEEC,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比【答案】(1)详见解析;(2)1试题解析:(1)证明:取中点,连ACOOBOD,,为中点,CDAD OAC,ODAC 又是等边三角形,ABC,OBAC 又,平面,平面,OODOBACOBDBDOBD.BDAC (2)设,2CDAD22AC22CDAB又,BDAB 22BD,ABDCBDECAE 又, ,ECAE 22AC,2 ECAE在中,设,根据余弦定理ABDxDE 10 / 25DEADAEDEAD BDADABBDADADB22cos222222解得,点是的中点,则,.2xEBDACEBACEDVV1ACEBACED
18、 VV【考点】线面垂直判定及性质定理,锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.16.【2017 北京,文 18】如图,在三棱锥 PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E为线段 PC 上一点()求证:PABD;()求证:平面 BDE平面 PAC;()当 PA平面 BDE 时,求三棱锥 EBCD 的体积【答案】详见解析【解析】试题解析:证明:(I)因为,所以平面,PAABPABCPA A
19、BC又因为平面,所以.BD ABCPABD(II)因为,为中点,所以,ABBCDACBDAC由(I)知, ,所以平面,PABDBD PAC所以平面平面.BDE PAC(III)因为平面,平面平面,PABDEPAC BDEDE所以.PADE11 / 25因为为的中点,所以,.DAC112DEPA2BDDC由(I)知,平面,所以平面.PA PACDE PAC所以三棱锥的体积.EBCD11 63VBD DC DE【考点】1.线面垂直的判断和性质;2,。面面垂直的判断和性质;3.几何体的体积.【名师点睛】线线,线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根
20、据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直,或是根据面面垂直,平面内的线垂直于交线,则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.17.【2016 高考新课标 1 文数】 (本题满分 12 分)如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(I)证明 G 是 AB 的中点;(II)在答题卡第(18)题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积【答案】 (I)见解析(II)作图见解析,
21、体积为4 3试题解析:(I)因为在平面内的正投影为,所以PABCD.ABPD因为在平面内的正投影为,所以DPABE.ABDE所以平面,故AB PED.ABPG又由已知可得,从而是的中点. PAPBGAB(II)在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.PABEPBPAF F EPAC12 / 25理由如下:由已知可得,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.PBPAPBPC/ /EFPBEFPCEF PACF EPAC连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.CGPABCD DABC由(I)知,是的中点,所以在上,故GABDCG2.3CDCG由题设可得平面,平面,所以
22、,因此PCPABDEPAB/ /DEPC21,.33PEPG DEPC由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得6PA2,2 2.DEPE在等腰直角三角形中,可得EFP2.EFPF所以四面体的体积PDEF1142 2 2.323 V考点:线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.18.【2015 高考北京,文 18】 (本小题满分 14 分)如图,
23、在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,VCAVA CAV ACCA 且, ,分别为,的中点CC2A AVA(I)求证:平面;V /C(II)求证:平面平面;CVA(III)求三棱锥的体积VCA【答案】 (I)证明详见解析;(II)证明详见解析;(III).3 313 / 25(II)先在三角形中得到,再利用面面垂直的性质得平面,最后利用面面垂直的判定得出结论;(III)将三棱锥进行等体积转化,利用,先求出三角形的面积,由于平面,所以为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可.CAOCABOC VAC VABVABCVVVAOC VAC试题解析:()因为分别为,的中点,,O MAVA所以./ /
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