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1、1寒假作业寒假作业( (十三十三) ) 平行与垂直关系平行与垂直关系( (注意命题点的区分度注意命题点的区分度) )一、选择题1若直线a平面,直线b直线a,点Ab且A,则b与的位置关系是( )AbA BbCb或b Db解析:选 D 由a,bab或b,又b过内一点,故b.2ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则直线l,m的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D不确定解析:选 C lAB,lACl,mBC,mACm,故lm.3设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且bm,则“ab”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件解析:选 B 因为,bm,所以b,又直线a在平面内,所以ab;但直线a,m不一定相交,所以“ab”是“ ”的必要不充分条件,故选 B.4.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为( )A BC D解析:选 C 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误,显然正确5已知l,m,n为不同的直线,为不同的平面,则下列结论正确的是( )A若m,n,则mnB若m,n,则mnC若l,m,m,则mlD若
3、m,n,lm,ln,则l2解析:选 C Am,n可能的位置关系为平行,相交或异面,故 A 错误;B.根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误;C.根据线面平行的性质可知 C 正确;D.若mn,根据线面垂直的判定可知 D 错误,故选 C.6已知ABCD为空间四边形,ABCD,ADBC,ABAD,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与( )AAC,BD之一垂直 BAC,BD都垂直CAC,BD都不垂直 DAC,BD不一定垂直解析:选 B ADBC,ABCD,BDBD,ABDCDB,连接AN,CN,则ANCN.在等腰ANC中,由M为AC的中点知MNAC.同理可得MNBD.7(2017福州模拟)
4、已知直线a,b异面,给出以下命题:一定存在平行于a的平面使b;一定存在平行于a的平面使b;一定存在平行于a的平面使b;一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点则其中为真命题的是( )A BC D解析:选 D 对于,若存在平面使得b,则有ba,而直线a,b未必垂直,因此不正确;对于,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面,此时平面与直线a,b均平行,因此正确;对于,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面,此时平面与直线a平行,且b,因此正确;对于,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直
5、线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,因此正确综上所述,正确8.如图所示,在斜三棱柱ABC A1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析:选 A BAC90,ABAC.3又ACBC1,BC1ABB,AC平面ABC1,又AC平面ABC,平面ABC平面ABC1.平面ABC1平面ABCAB,点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上9(2017成都一诊)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于
6、点E,F,G,H,且直线AA1平面.有下列三个命题:四边形EFGH是平行四边形;平面平面BCC1B1;平面平面BCFE.其中正确的命题有( )A BC D解析:选 C 因为AA1平面,平面平面AA1B1BEH,所以AA1EH.同理AA1GF,所以EHGF,又ABCA1B1C1是直三棱柱,易知EHGFAA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故正确;若平面平面BB1C1C,由平面平面A1B1C1GH,平面BCC1B1平面A1B1C1B1C1,知GHB1C1,而GHB1C1不一定成立,故错误;由AA1平面BCFE,结合AA1EH知EH平面BCFE,又EH平面,所以平面平面BCFE.综上可知,选 C.
7、10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是上底面A1B1C1D1上一点,且PQ平面AA1B1B,则线段PQ的长的最小值为( )A1 B.2C. D.2232解析:选 A 由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上,易知点Q在A1D1,B1C1中点的连线MN上,故PQ的最小值为PMAA11.1 211(2017成都二诊)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M称为图形M在这个平面上的射影如图,在长方体ABCDEFGH中,AB5,AD4,AE3,则EBD在平面EBC上的射影的面积是( )A2 B.3425 2C10
8、D304解析:选 A 连接HC,过D作DMHC,连接ME,MB,因为BC平面HCD,又DM平面HCD,所以BCDM,因为BCHCC,所以DM平面HCBE,即D在平面HCBE内的射影为M,所以EBD在平面HCBE内的射影为EBM,在长方体中,HCBE,所以MBE的面积等于CBE的面积,所以EBD在平面EBC上的射影的面积为 42,故选 A.1 252323412已知E,F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1上的点,且AEAB,AFAA1,M,N分别为线段D1E和线段C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线1 21 3MN有( )A1 条 B3 条C6 条 D无数条解析:选 D 取
9、BHBB1,连接FH,则FHC1D1,连接1 3HE,D1H,在D1E上任取一点M,过M在平面D1HE中作MGHO,交D1H于点G,其中OED1E,过O作OK平面ABCD于点K,连接KB,1 3则四边形OHBK为矩形,再过G作GNFH,交C1F于点N,连接MN,由于MGHO,HOKB,KB平面ABCD,GM平面ABCD,所以GM平面ABCD,同理,GNFH,可得GN平面ABCD,由面面平行的判定定理得,平面GMN平面ABCD,则MN平面ABCD,由于M为D1E上任一点,故这样的直线MN有无数条二、填空题13.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为_解
10、析:平面ABFE平面DCGH,又平面EFGH平面ABFEEF,平面EFGH平面DCGHHG,EFHG.同理EHFG,四边形EFGH的形状是平行四边形答案:平行四边形14已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.当满足条件_时,有m.(填所选条件的序号)解析:根据面面平行的性质定理可得,当m,时,m,故满足条件时,有m.答案:515设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若n,mn,则m且m.其中真命题的个数是_解析:若n,则内的直线m可能与n平行,也可能与n异面,故错误;若,则,若m,则m,故正确;中有可能m或m,显然错误答案:116如图
11、,在长方形ABCD中,AB2,BC1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABCF.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足设AKt,则t的取值范围是_解析:如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK.平面ABD平面ABCF,又DKAB,DK平面ABCF,DKAF.DKDGD,AF平面DKG,AFGK.法一:易知当F接近点E时,K接近AB的中点,当F接近点C时,K接近AB的四等分点,故t的取值范围是.(1 2,1)法二:即在平面图形中,D,G,K三点共线,设FAK,则ADK,AKADtan tan ,又 tanCABtan tanEAB1,t.1
12、 2(1 2,1)答案:(1 2,1)三、解答题17.如图,在三棱锥SABC中,已知点D,E,F分别为棱AC,SA,SC的中点(1)求证:EF平面ABC;(2)若SASC,BABC,求证:平面SBD平面ABC.6证明:(1)EF是SAC的中位线,EFAC.又EF平面ABC,AC平面ABC,EF平面ABC.(2)SASC,D是AC的中点,SDAC.BABC,D是AC的中点,BDAC.又SD平面SBD,BD平面SBD,SDDBD,AC平面SBD.又AC平面ABC,平面SBD平面ABC.18(2017合肥二检)如图,在平面五边形ABCDE中,ABCE,且AE2,AEC60,CDED,cosEDC .
13、将CDE沿CE折起,使点D到P的位置,75 7且AP,得到四棱锥PABCE.3(1)求证:AP平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:ABl.证明:(1)在CDE中,CDED,cosEDC ,75 7由余弦定理得CE2.CD2ED22CDEDcosEDC在四棱锥PABCE中,连接AC,AE2,AEC60,AC2.又AP,3在PAE中,PA2AE2PE2,即APAE.同理,APAC.而AC平面ABCE,7AE平面ABCE,ACAEA,故AP平面ABCE.(2)ABCE,且CE平面PCE,AB平面PCE,AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl,ABl.19.如图,四棱锥P
14、ABCD中,底面ABCD是菱形,PAPD,BAD60,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上(1)求证:AD平面PBE;(2)若Q是PC的中点,求证:PA平面BDQ;(3)若VPBCDE2VQABCD,试求的值CP CQ解:(1)证明:由E是AD的中点,PAPD,可得ADPE .又底面ABCD是菱形,BAD60,所以ABBD.又因为E是AD的中点,所以ADBE.又PEBEE,所以AD平面PBE.(2)证明:连接AC,交BD于点O,连接OQ.因为O是AC的中点,Q是PC的中点,所以OQPA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA平面BDQ.(3)设四棱锥PBCDE,QABCD的高分别为h1,h2,
15、所以VPBCDES四边形BCDEh1,1 3VQABCDS四边形ABCDh2.1 3又因为VPBCDE2VQABCD,且S四边形BCDES四边形ABCD,3 4所以 .CP CQh1 h28 320.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC2BC2AA14,ACB60,E,F分别是A1C1,BC的中点(1)证明:平面AEB平面BB1C1C;8(2)证明:C1F平面ABE;(3)设P是BE的中点,求三棱锥PB1C1F的体积解:(1)证明:在ABC中,AC2BC4,ACB60,AB2,AB2BC2AC2,ABBC.3由已知ABBB1,且BCBB1B,可得AB平面BB1C1C.又AB平面ABE,平面ABE平面BB1C1C.(2)证明:取AC的中点M,连接C1M,FM,在ABC中,FMAB,而FM平面ABE,AB平面ABE,FM平面ABE,在矩形ACC1A1中,E,M分别是A1C1,AC的中点,C1MAE,而C1M平面ABE,AE平面ABE,C1M平面ABE,C1MFMM,平面ABE平面FMC1,又C1F平面FMC1,故C1F平面ABE.(3)取B1C1的中点H,连接EH,则EHAB,且EHAB,1 23又AB平面BB1C1C,EH平面BB1C1C,P是BE的中点,VPB1C1FVEB1C1F SB1C1FEH1 21 21 3 2.1213333
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