基于Copula的外汇投资组合风险分析.pdf
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1、文章编号:1003-207(2004)04-0001-05基于Copula的外汇投资组合风险分析吴振翔,叶五一,缪柏其(中国科学技术大学统计与金融系,安徽 合肥 230026)摘 要:本文简要介绍了Archimedean Copula,并运用Archimedean Copula给出了确定两种外汇最小风险(VaR)投资组合的方法。并用这个方法,对欧元和日元的投资组合做了相应的风险分析,得到了二者的最小风险投资组合,并对不同置信水平下VaR和组合系数做了敏感性分析。关键词:Archimedean Copula;VaR(Value at Risk);投资组合;外汇中图分类号:F830192;O211
2、13 文献标识码:A收稿日期:2003-10-08;修订日期:2004-06-02基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071082);教育部博士点基金(20010358022);中国科学院和中国科技大学创新基金资助作者简介:吴振翔(1977-),男(汉族),安徽合肥人,中国科学技术大学统计与金融系博士研究生,研究方向:金融工程.1 背景介绍自从Markowitz投资组合理论问世以来,关于投资组合风险控制的研究一直是个热点问题。问题的关键在于确定一个恰当的组合系数,使得该组合的风险尽可能的小。这里实际是两个层次上的问题:一个是关于风险的度量,一个是在这种风险度量基础上的组合系数的确定。本文在
3、风险度量的问题上选取的是VaR(Valueat Risk)方法。由于风险资产收益率是随机变量,其组合收益率也是一个随机变量,在单个风险资产收益率不服从正态性假设下,传统的线性相关系数无法描述随机变量间的相依性,从而很难得到组合收益率的VaR。Copula从结构上能较好的拟合随机变量的联合分布,因而可以用它来得到较精确的组合收益率的VaR。Copula这个名称来自于Schweizer and Sklar(1983),随后Genest and MacKay(1986)、Joe1H1(1993)等人对其进行了发展,Copula是在构造多元联合分布以及随机变量间相关结构分析中常用的工具。但把它用到金融
4、理论中来还是近年来的事,自从Embrechts etc1(1999)把Copula引入到金融上以来,许多学者已经取得了较好的成果,Claudio Ro2mano(2002)对意大利股市收益率进行了Copula分析,Embrechts etc1(2001)、Durrleman etc(2001)等人用Copula进行了风险分析,Roberto De Matteis(2001)对Copula,特别是对Archimedean Copula做了较好的总结。在国内对Copula的研究甚少,张尧庭(2002a),(2002b)从理论上探讨了Copula在金融上应用的可行性,对Copula分类研究以及相关的
5、实证研究还没有开展起来。本文首次运用较广泛使用的Archimedean Cop2ula来确定外汇市场中最小风险的投资组合。结果发现拟合得相当好,由此获得许多有用的结果。本文内容安排如下:第一部分对Archimedean Copula方法进行简单的介绍,并在此基础上指出如何确定两种外汇资产最小风险投资组合;第二部分是欧元对人民币、日元对人民币的一个实证分析。第三部分是结论和一些本文认为Copula(ArchimedeanCopula)在金融上一些可以继续深入下去的方向。2 两种外汇资产下最小风险投资组合的确定 考虑两种外汇对人民币的汇率,每天各自的收益率记为两个随机变量X和Y,由于货币间的相互影
6、响,它们之间并不独立。要对二者进行组合投资,就有必要了解它们之间的相依性,本文将用Archimedean Copula来 考 察 其 相 依 结 构。定 义(Archimedean Copula)设:0,10,为连续、严格递减的凸函数,(0)=,(1)=0,且有连续、严格递减、凸的反函数-1:0,0,1,-1()=0,-1(0)=1,则C(u,v)=-1(u)+(v)称为由()生成的Archimedean Copula,()称为该Copula的生成函数。在上述的定义中,取u和v分别为随即变量X第12卷 第4期2004年 8月中国管理科学Chinese Journal of Management
7、 ScienceVol.12,No.4Aug.,2004和Y的边缘分布,记为u(x)和v(y),那么C(u(x),v(y)就可以看作是对(X,Y)联合分布的估计。按照(t)形式的不同,Archimedean Copula也分为不同的类,目前较常见的有20类,每一类(t)都有一个参数,例如,(t)=(t-1)/,这里就是参数。对于每一类Archimedean Copula,可以根据样本数据估计出参数的值,从而得到(X,Y)的联合分布函数。Genest and MacKay(1986)证明了如下的公式:(X,Y)=1+410(t)(t)dt(1)上式中为(X,Y)的Kendall秩相关系数(定义可
8、见11),如果用样本Kendall秩相关系数来代替(1)式中左端,则对于每一个确定的ArchimedeanCopula类,可以得到参数的估计。再考虑选用哪个类的结果作为对(X,Y)联合分布的估计。需要注意的是,不同类的ArchimedeanCopula中,Kendall秩相关系数的取值范围是不一样的,可 在 第 一 步 根 据 不 同 的 来 确 定Archimedean Copula候选类,在候选类中,用如下的拟合优度检验方法,来确定最终选用的类:KC(t)=P C(U,V)t =t-(t)(t)(2)作为随机变量C(U,V)的分布函数,KC(t)为(0,1)上均匀分布函数。利用样本数据做K
9、C()与U(0,1)的Kolmogorov-Smirnov检验,以此决定用哪个类来拟合(X,Y)的联合分布函数。至此,根据历史数据,本文得到了两种外汇资产收益率X和Y的联合分布C(F(x),G(y),其中F(x)为X的边缘分布函数,G(y)为Y的边缘分布函数。利用这个结果,可计算出组合X+(1-)Y,0 V3)3P(3 V3)=3这里,表示实际损失的百分比大小,所以说,在损失不能超过V3这一约束下,无疑(3,3)是最好的选择,因为3组合使损失超过V3的概率最小,即风险最小。考虑更实际的情况,损失的界限约束不是一个确定的值,而是一个模糊的区域,如在V3附近。这种情况下,在得到3之后,可在图5中(
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