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1、.1/5 浅谈求最值问题的几种方法 摘要:最值问题综合性强,涉与到中学数学的许多分支,因而这类问题题型广,知识面宽,而且在解法上灵活多样,能较好体现数学思想方法的应用.在历年的高考试题中,既有基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些以难题的形式出现.解决这类问题要掌握多方面的知识,综合运用各种数学技巧,灵活选择合理的解题方法,本文就几类最值问题作一探求.关键词:数学;函数;最值;最大值;最小值 1.常见函数的最值问题.1.1 一次函数的最大值与最小值.一次函数bkxy在其定义域内是没有最大值和最小值的,但是,如果对自变量x的取值 X 围有所限制时,一次函数就可能有最大值和最小值了.例 1.设0
2、a且a1,)1(1xaaxy,求y的最大值与最小值.解:)1(1xaaxy可化为:.1)1(axaay下面对一次项系数分两种情况讨论:1当a1 时,a-a10,于是函数axaay1)1(的函数值是随着x的增加而增加的,所以 当x=0 时,y取最小值a1;当x=1 时,y 取最大值a.2 当 0a1 时,01aa,于是函数axaay1)1(的函数值是随着x的增加而减少的,所以 当x=0 时,y取最大值a1;当x=1 时,y取最小值.例 2.已知zyx,是非负实数,且满足条件 求zyxu245的最大值和最小值.分析:题设条件给出两个方程,三个未知数zyx,当然,zyx,的具体数值是不能求出的.但是
3、,我们固定其中一个,不防固定x,那么zy,都可以用x来表示,于是u便是x的函数了 需注意x的取值 X围,从而我们根据已知条件,可求出u的最大值与最小值.1.2 二次函数的最大值与最小值.2/5 一般地,求二次函数02acbxaxy的最大值与最小值,都是根据二次函数的性质和图象来求解,即有:若a0,则当x=ab2时,y有最小值为abac442;若a0,则当x=ab2时,y有最大值abac442.这里我们给出另一种求二次函数最值的方法判别式法.例 3.已知x1,x2是方程0)53()2(22kkxkx k是实数的两个实数根,求2221xx的最大值与最小值.分 析:一 般 地,二 次 函 数0)()
4、()(3221yfxyfxyf,若 方 程 有 实 根,其 判 别 式)()(4)(3122yfyfyf0.如果关于y的不等式0,可以解出y的取值 X 围,便可求出函数)(xfy 的最值,这就是求函数最值的判别式法.解:由于二次方程有实根,所以=)53(4)2(22kkk0 解得 4k34 则 2122122212)()(xxxxxxkf 由于)(kf在34,4上是减函数,可见当4k时,)(kf=2221xx有最大值 18,当34k时,)(kf=2221xx有最小值950.1.3三角函数的最大值与最小值 三角函数的最值问题题型广,涉与的知识面宽,而且在解法上灵活多变,能较好的体现数学思想方法的
5、应用,因而一直是学习中的热点和重点.例 4.已知函数2)cos(sin22sinaxxxy,设xxtcossin,当t为何值时,y取得最小值.解:)4sin(2cossinxxxt,22t 即有 12sin2 tx 1)1(212222atatty,22t.3/5 当1t时,y取得最小值12a.说明:求三角函数的最值时,方法很多,而在代数中求最值的方法均适用,如配方法注意三角函数的取值 X 围,换元法注意换元后的 X 围,判别法,重要不等式注意取等号的条件等等,这里不再赘述,只列举出几种常见的三角函数与最值的求法:1)cos(sinbxabxay或型,利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论.2
6、 xbxaycossin型,先引进辅助角化成22bay)sin(x,再利用有界性.3 cxbxaysinsin2型,配方后求二次函数的最值,须注意1sinx 的约束.4 dxcbxaysinsin型,反解出xsin,化归为1sinx解决.dxcbxaycossin)sincos(dxcbxay或型,化归为 ygxsin利用三角函数的有界性求解,或用数形结合法.cxxbxxaycossin)cos(sin型,常用到换元法,令xxtcossin,2t.1.4 分式函数的最大值与最小值 求分式函数22221121cxbxacxbxay的最大值与最小值问题,常用到的办法是去分母后,化为关于x的二次方程
7、,然后用判别式0,得出y的取值 X 围,进而求出y的最大值和最小值.例 5.求函数1223222xxxxy的最值.解:去分母,整理得 0)3()1(2)12(2yxyxy 当21y时,这是一个二次方程,因x是实数,所以判别式0.即 =0)3)(12(4)1(22yyy 解得 14y 当;314xy时,当.21xy时,由此即知,当 31x时,y取最小值-4;当 2x时,y取最大值 1.说明:本题求最值的方法叫判别法,是一种常用的方法,但在用判别法时,应特别注意这个最值能.4/5 否取到,即是否有与最值相应的x值.2.一类无理函数的最值问题 无理函数的最值是高中数学教学的一个难点,其形式多样,解法
8、繁杂,学生在解题时常感困惑,下面就研究一类形如dcxbaxy)0,(acRdcba的无理函数最值的解法.例 6.求函数)64(3184xxxy的最值,以与y取最值时x的值.解法 1.利用判别式 显然0y,两边平方得 )318)(4(2)214(2xxxy 移项,平方整理得 048428)1764(162422yyxyx 由 0)48428(64)1764(2422yyy 得 802 y 又 0)318)(4(2)214(2xxxy 与0y 得 2214xy 当x=6 时,2miny;当x=29时,22maxy.解法 2.巧用三角变换.设2sin4yx,2cos318yx 则42sin4yx,4
9、2cos318yx.消去x得 43)43(cos4cossin3622442y.当43cos2 时,即29x 时,22maxy;当 0cos2 时,即x=6 时,2miny.解法 3.善用导数.导数是高中数学中的重要内容,用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段,要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用,善于运用它体念它独特的解题魅力,能使问题得到简洁,完美的解决.对原函数求导可得 xxy31823421.5/5 令 0y 得 29x 又6,4x 计算端点和导数为零的函数值得 6|4xy,2|6xy,22|29xy .由此可得 当x=29时,22maxy,当x=6 时,2miny.3.其它函数的最值问题 处理一般函数的最大值与最小值,我们常常用不等式来估计上界或下界,进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值.例 7.设x是正实数,求函数xxxy12的最小值.解:先估计y的最小值1)21()12(2xxxxy 又当1x时,1y.所以y的最小值为1.说明:在求最小大值,一定要举例说明这个值是能取到的,才能说这就是最小大值,否则就不一定对了,例如,本题我们也可以这样估计:但无论x取什么值时,y取不到3,即3不能作为y的最小值.
限制150内