万有引力定律在天文学上的应用 教学设计.docx
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1、万有引力定律在天文学上的应用本节教材分析这节课通过对一些天体运动的实例分析,使学生了解:通常物体之间的万有引力很小, 常常觉察不出来,但在天体运动中,由于天体的质量很大,万有引力将起决定性作用,对天 文学的发展起了很大的推动作用,其中一个重要的应用就是计算天体的质量.在讲课时,应用万有引力定律有两条思路要交待清楚.1 .把环绕天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动,即尸引=/向,用于计算天体(中心 体)的质量,讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题.2 .地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力,即尸引=2g.主要用于计算 涉及重力加速度的问题.本节内容是这一章的重点,是万有引力定律在
2、实际中的具体应用.利用万有引力定律除 了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体.教学目标一、知识目标1. 了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点:万有引力作为行星、卫星圆周运 动的向心力.2. 了解万有引力定律在天文学上有重要应用.3. 会用万有引力定律计算天体的质量.二、能力目标通过万有引力定律在实际中的应用,培养学生理论联系实际的能力.三、德育目标利用万有引力定律可以发现未知天体,让学生懂得理论来源于实践,反过来又可以指导 实践的辩证唯物主义观点.教学重点1 .人造卫星、月球绕地球的运动;行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的.2 .会用已知条件求中心天体的质量.教学难点根据已知条
3、件求中心天体的质量.教学方法Mm4乃之力)/解:由于 G M =m T2 r,得 M= GT2 .2 .分析:此为天体运动的双星问题,除两星间的作用外,其他天体对其不产生影响.两星球周期相同,有共同的圆心,且间距不变,其空间分布如右图所示.解:设两星质量分别为陷和此,都绕连线上。点做周期为7的圆周运动,两星到圆 心的距离分别为Li和L2,由于万有引力提供向心力.4乃2T2 1由几何关系知:L-L2=R4,r3联立解得M+M2= gt23 .分析:将行星看做一个球体,卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供.解:设半径为R,则密度p与质量M、体积V的关系为4MpVp 兀A,对卫星,万有引力
4、提供向心力3)整理得72=万为一常量.4 .分析:题设条件指出,物体在赤道上恰好完全失重,这是由于该星球自转所造成的.在 赤道上平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球自转所需向心力.随物体向星球极地移动,其视重将增大.在极地位置,物体所需 向心力为零.解:设行星的半径为R,在赤道上质量为2的物体随星体自转,物体受力如上图所示, 根据牛顿第二运动定律得根g歹/丫=根疗依题国=0,所以g =cR.在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍,可知g =0.01g自转周期与地球相同,即7=T=8.64X104s,可知该星球半径为r_二(T)-0.05R- L亏g-正=0. 01X9. 8X(8.
5、 64X10,24X3. 142=1. 85X 107 m5 .分析:本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系.物体所受的 重力可近似看成等于地球对它的万有引力.Mm解:在地面附近有G = G R2 ,Mm在离地h高度处有 g2=g(R + )2,G _ (R + 少由题意知G?R? =2,解得:=(拒-1)R.备课资料一、天体密度的计算要想计算天体的密度,设天体半径已知,即可得到天体的体积,再求得天体的质量、天 体的密度就可求得.求天体质量时,首先应以此天体作为中心天体,具体求解时可有两条思路:a.尸引向,b. F引.Mm 44广a.尸引=/向,即G M m T2 r,得:M=
6、 GT2 (其中:例为中心天体质量,根为环绕 天体质量,T为环绕天体的绕行周期,为环绕天体的轨道半径)4设中心天体的半径为R,则其体积为v= 3兀R3.M 3兀/所以夕=厂一方存如果环绕体在中心体表面运行,则r=R,3兀所以夕=彳Mm娟2b. F引三mg,即G R? =mg,得/(其中:g为中心体表面或附近的重力加速度)4设中心体半径为R,则体积V=5兀R3M = 3g所以 0= V 4tiGR二、科学家发现太阳系第十大行星英国天文学家约翰默里博士可能发现了太阳系第十大行星.这颗奇异的行星极为遥远,与目前已知太阳系最远的行星冥王星相比,它的公转轨道大 约比冥王星远1000倍.这颗行星与太阳的距
7、离是地球到达太阳距离的3万倍.默里博士的 这个发现源自彗星理论,每一颗彗星都是受外力驱动才进入太阳系的,以致被我们观察到.默 里博士研究了 13颗彗星的运行轨道后,他认为存在着一个巨大物体的作用,将那些彗星送 入了现在的运行轨道.这颗行星可能是在别处诞生的一颗新星,在银河系漫游时被太阳系的行星系统捕捉到 了.这颗肉眼观测不到的行星体积是已知太阳系最大行星木星的几倍以上.这颗行星环绕太阳运行一周需要600万年的时间.这一速度可以解释人们以前为什么没有发现它的原因:它的移动速度极为缓慢.三、对天体运动问题的分析(一)万有引力定律与天体圆运动问题的分析方法1 .万有引力定律若两个质量分别为m和M的质
8、点相距r,则其间相互作用的万有引力的大小为F= GmM/P.应该明确的是:式中的G被称为引力常量,其值为G=6.67X IO11 N -m2/kg2 (2) 式适用于两个质点间万有引力大小的计算,而对于两个质量分布均匀的球体间的万有引力 大小的计算,也可用式,只是式中的应理解为两球心间的距离.2 .天体圆运动问题的分析方法对于那些在万有引力作用下,围绕某中心天体(M)做圆运动的天体来说,其圆运动问 题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点来进行,即GmM/a=斯.式中的向心 加速度斯=正/厂=厂苏=4兀2尸.至于斯应取何种表达形式,应依具体问题来确定.已知月球绕地球转动周期为T,轨道近似
9、为圆,月、地间距离为二则地球的质量”为 多大?分析与解 对于这种典型的“天体圆运动问题”的分析,我们把握住“引力充当向心力” 的分析要点,同时考虑到题设条件中给出了周期7,因此可以用丁来表示向心加速度.于是 有GmM/r2=4n2rm/11可解得地球质量为M=4兀2广/6片(二)开普勒行星运动定律与天体椭圆运动问题的分析方法1 .开普勒行星运动定律第一定律:行星沿椭圆轨道绕太阳运动,太阳在椭圆轨道的一个焦点上.第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.即“Sin6=常量.式 中u为行星的运动速度,厂为从太阳引向行星的矢径,。则为速度与矢径之间的夹角.第三定律:行星绕太阳做椭圆运动
10、的公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比.即 72/氏3=4兀2/gm.式中G为引力常量,M则为太阳的质量.2 .天体椭圆运动问题的分析方法若把适用于行星绕太阳做椭圆运动的开普勒定律推广到一般的绕中心天体(M)做椭圆运 动的天体(加)上,开普勒定律的形式不变.只是此时式中的“常量”成了一个与新的中心 天体相关的常量;式中的M也成了新的中心天体的质量而不再是太阳的质量了.于是, 对于一般的天体的椭圆运动问题的分析,则可以依靠推广了的开普勒定律.当然,在一些较 为特殊的天体椭圆运动问题中,有时也可以利用“位置的特殊性”和“轨道的对称性”而借 助于万有引力定律来分析.如图所示,卫星绕质量为M的地球做
11、椭圆运动,在近地点和远地点处与地心分别相距 a和b,则卫星在通过近地点和远地点时其运动速度大小之比为V!:也=.卫星从 近地点运动到远地点所经历的最短时间为t=.解析:对于这种一般的天体椭圆运动问题,通常是利用开普勒定律来分析求解的.由开 a + b普勒第二和第三定律分别有:刃=g=%(常量)./(亍 =4兀2/GM.由此便可分别解得: 卫星在近地点和远地点处运动速度大小之比为VI : V2 = b : Q;卫星从近地点到达远地点-%(。+刃2GMm+。)所经历的最短时间为,=27= 4GM.当然,此例中式给出的结论亦可由万有引力定律求得.由万有引力定律可得,卫星在 j GmM/a = niV
12、2/R近地点和远地点处分别有1 GmM/ 62 =m及2/R式中的R为椭圆轨道在近地点和远地点这两个对称的特殊位置处的曲率半径.由上式 便可求得也与也之比如式所给出.四、万有引力定律应用时应分清的几个概念1 .天体半径和卫星轨道半径在中学物理中通常把天体看成一个球体,天体半径就是球的半径,反映了天体的大小,卫 星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径.一般情况下,天体卫星的轨道半 径总大于该天体的半径.当卫星贴近天体表面运行时,可近似认为轨道半径等于天体半径.一宇宙飞船到某星球上探测,宇航员想知道该星球的密度,而身边只有一块手表,他该 怎么办呢?解析:当宇宙飞船绕着星球运行时,可将其
13、视为该星球的一颗卫星,根据关系式M=加/兀2/72(这里厂是宇宙飞船的轨道半径),而夕=3 (R为星球半径).因此要想求得星球 的密度必须使飞船的轨道半径r=R,才能得出夕=3兀/G72所以宇航员只要让飞船贴近该天 体的表面绕行一周,用手表测出周期,即可求得星球的密度.2 .自转周期和公转周期自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间,公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动 一周的时间.一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的,如地球自转周期为24小时, 公转周期为365天.在应用中要注意区别.已知太阳光射到地球需时,=500 s,地球同步卫星的高度/z = 3.6X IO, km.试估算太阳 和
14、地球的质量.解析:设太阳质量为Mi,地球质量为M2,地球同步卫星质量为如 由地球绕太阳做圆4万2尸周运动知:GMM2/12 M2r4n2/T2,求得M= GT?.式中厂=”,口为光速.GM 2m2= m(R 地+ /z) T2 ,得 M2 =再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得:(氏地+人)42(H地+力)3GF2 .代入数据可求得Mi、M2=.注意八T分别是地球的公转周期和自转周期.当然,也有的天体自转周期和公转周期相同,如月球的自转周期等于它绕地球的公转周 期,故月球总是以同一面朝向地球.3 .同步卫星和一般卫星地球同步卫星和其他地球卫星虽然都绕地球运行,但它们之间却有着明显的区别.地球同
15、步卫星是相对于地球静止,和地球自转具有相同周期的卫星,它的周期T=24 h.由于卫星受到的地球引力指向地心,在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道 平面平行的其他平面,它一定位于赤道的正上方.如我国发射的电视转播卫星,不是定点在 北京上空或其他什么地点的上空,而是停在位于赤道的印度尼西亚上空.根据牛顿第二定律 GMm/=m/r,得r=何荷.可见同步卫星离地心的距离是一定的,代入数据得= 4.24X 104 km,且线速度u=rg=3.08X 103 mzs也是一定的,其绕行方向与地球自转同向.而一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大,也可比同步卫星小,但线速度最大值为 v=7.9 km/
16、s,最小周期大约85 min,轨道也可以是任意的,轨道平面一定通过地球球心.同步卫星离地距离心运行速率也,加速度0,地球赤道上的物体随地球自转的向心加 速度为2,第一宇宙速度为也,地球半径为R,贝女)A. alai=rlRB. a/a2 = R2/r-C. v/v2=R1/r2D. v/v2= Rlr解析:同步卫星和赤道上的物体的角速度相等,据。=?知0/他=凡 第一宇宙速度 是卫星贴近地面绕行的速度,同步卫星也属于一种卫星,故速率 尸向江,所以0/也= 历本题应选AD.4.赤道上的物体和近地卫星放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用,一个是地球对它的万有引力,另一个Mm是地面对物体的支持
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