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1、5.3 5.3 冲击响应和阶跃响应冲击响应和阶跃响应1.冲击响应冲击响应定义:系统的冲击响应就是电路系统在冲击信定义:系统的冲击响应就是电路系统在冲击信定义:系统的冲击响应就是电路系统在冲击信定义:系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即号激励下产生的零状态响应。即号激励下产生的零状态响应。即号激励下产生的零状态响应。即:因为只有在因为只有在t=0t=0时时,(t t)才对电路系统作用,)才对电路系统作用,所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮,即为等效初始条件,在件进行能量存贮,即为等效初始条件,在t t0 0
2、时,时,由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即:应。即:2.h(t)求法求法例例例例:已知电路如图,已知电路如图,已知电路如图,已知电路如图,i iL L(0(0-)=0)=0,求求求求i iL L(t t)解:(解:(1 1)建立电路方程:)建立电路方程:(1)(1)直接法直接法:(等效初始条件法)(等效初始条件法)(2)(2)将其转换为等效零输入响应:将其转换为等效零输入响应:(3 3)求解:三要素法得:)求解:三要素法得:(2)(2)比较系数法比较系数法 因因为为由由电电路路系系统统的的(1 1)问问题题转转为为(2 2)问问题题,电电
3、路路系系统统的的解应具有相同的函数形式,一般解应具有相同的函数形式,一般(1 1)对于对于n nm m时,若电路系统方程的特征根互异,则由此时,若电路系统方程的特征根互异,则由此得冲击响应为得冲击响应为(2)n=m时,若特征根互异:时,若特征根互异:(3)n0t0,U(t)0.U(t)0.系统的阶跃响系统的阶跃响系统的阶跃响系统的阶跃响应是求解非齐次方程(应是求解非齐次方程(应是求解非齐次方程(应是求解非齐次方程(0 0初条),它应包括齐次方程通解和初条),它应包括齐次方程通解和初条),它应包括齐次方程通解和初条),它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得:非齐次特解。定义式可得:非齐次特
4、解。定义式可得:非齐次特解。定义式可得:强迫响应:强迫响应:(2)求阶跃响应的常用方法求阶跃响应的常用方法(1)由)由h(t)g(t)方程(方程(方程(方程(1 1)中左端最高阶为)中左端最高阶为)中左端最高阶为)中左端最高阶为 g g(n)(n)(t)(t),右端最高阶为,右端最高阶为,右端最高阶为,右端最高阶为 U U(m)(m)(t)(t)即使即使即使即使m=nm=n,g(t)g(t)中也不会包含中也不会包含中也不会包含中也不会包含(t),(t),故在故在故在故在nmnm时,若时,若时,若时,若(1 1)式特征根互异,则自由响应:)式特征根互异,则自由响应:)式特征根互异,则自由响应:)
5、式特征根互异,则自由响应:故故由此可采用求冲击响应类似的方法,求得由此可采用求冲击响应类似的方法,求得 g(t)(1)(1)(1)(1)线性性(即迭加性和均匀性)线性性(即迭加性和均匀性)线性性(即迭加性和均匀性)线性性(即迭加性和均匀性)定理定理定理定理1 1 1 1:线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的:线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的:线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的:线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的:a.a.a.a.响应的可分解性:电路与系统的响应可以分解为零输入响响应的可分解性:电路与系统的响应可以分解为零输入响响应的可分解性:电路与系统的响应可以分解为零
6、输入响响应的可分解性:电路与系统的响应可以分解为零输入响应,零状态响应。应,零状态响应。应,零状态响应。应,零状态响应。b.b.零状态线性:当起始状态为零时,系统的零状态响应对于零状态线性:当起始状态为零时,系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。各激励信号呈线性。c.c.零输入线性:当激励为零时,系统的零输入响应对应各起零输入线性:当激励为零时,系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。始状态呈线性。3.LTI电路系统的基本性质电路系统的基本性质注意:注意:注意:注意:(1 1 1 1)当系统同时存在)当系统同时存在)当系统同时存在)当系统同时存在n n n n个激励时,系统的完全响应对于某个激励
7、时,系统的完全响应对于某个激励时,系统的完全响应对于某个激励时,系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系,而是对全部的激励呈线性个单独的激励不呈线性关系,而是对全部的激励呈线性个单独的激励不呈线性关系,而是对全部的激励呈线性个单独的激励不呈线性关系,而是对全部的激励呈线性关系。关系。关系。关系。(2 2 2 2)在这种叠加解法中,已经将各起始状态的作用也视)在这种叠加解法中,已经将各起始状态的作用也视)在这种叠加解法中,已经将各起始状态的作用也视)在这种叠加解法中,已经将各起始状态的作用也视为系统的激励,所以它与第二章中端口线性定义是一致为系统的激励,所以它与第二章中端口线性定义是一致为系
8、统的激励,所以它与第二章中端口线性定义是一致为系统的激励,所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说,可以根据上述三条来定义线性系统。的。也就是说,可以根据上述三条来定义线性系统。的。也就是说,可以根据上述三条来定义线性系统。的。也就是说,可以根据上述三条来定义线性系统。(3 3 3 3)全响应是零输入与零状态的线性组成,它既不是激)全响应是零输入与零状态的线性组成,它既不是激)全响应是零输入与零状态的线性组成,它既不是激)全响应是零输入与零状态的线性组成,它既不是激励的线性函数,也不是初态的线性函数,而仅能是零输励的线性函数,也不是初态的线性函数,而仅能是零输励的线性函数,也不是初态的线
9、性函数,而仅能是零输励的线性函数,也不是初态的线性函数,而仅能是零输入线性,零状态线性。入线性,零状态线性。入线性,零状态线性。入线性,零状态线性。我们对第二条进行证明我们对第二条进行证明我们对第二条进行证明我们对第二条进行证明 设一阶电路方程为设一阶电路方程为设一阶电路方程为设一阶电路方程为(1)叠加性)叠加性 若若x1(t),x2(t)分别激励系统时,相应的零状态响应为分别激励系统时,相应的零状态响应为y1(t)和和y2(t),它们应当满足方程(,它们应当满足方程(1)(1)(2)(3)将上两式相加得:将上两式相加得:将上两式相加得:将上两式相加得:(4)如果在如果在t=0时,在电路中的相
10、同位置上,同时加入时,在电路中的相同位置上,同时加入x1(t)+x2(t),则相应的零状态响应为,则相应的零状态响应为y(t),则必然有,则必然有根据微分方程的唯一性充分条件,式(根据微分方程的唯一性充分条件,式(4 4)和()和(5 5)中,初始)中,初始状态和激励相同,而状态和激励相同,而1/1/仅决定于电路结构和元件参数,仅决定于电路结构和元件参数,也应是相同的。所以其解也必然相同。也应是相同的。所以其解也必然相同。(5)这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。这就是说线性时不变电路与系统对于激励具有叠加性。这就是说线性时不变电路与
11、系统对于激励具有叠加性。(2 2)若在上述同一电路的相同位置,)若在上述同一电路的相同位置,)若在上述同一电路的相同位置,)若在上述同一电路的相同位置,t=0t=0时接入激励时接入激励时接入激励时接入激励xx1 1(t t)是实数,相应的零状态响应为是实数,相应的零状态响应为是实数,相应的零状态响应为是实数,相应的零状态响应为y y3 3(t t),则:,则:,则:,则:(6)而如果用而如果用 同时乘方程(同时乘方程(2 2)的两边,则得:)的两边,则得:(7)于是:于是:y(t)=y1(t)+y2(t)根据微分方程解的唯一性充分条件,比较(根据微分方程解的唯一性充分条件,比较(根据微分方程解
12、的唯一性充分条件,比较(根据微分方程解的唯一性充分条件,比较(6 6 6 6)()()()(7 7 7 7)两式得:)两式得:)两式得:)两式得:这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。由于既满足叠加性,又满足均匀性,所以线性时不变电路由于既满足叠加性,又满足均匀性,所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。(2)
13、.(2).延时不变性:延时不变性:延时不变性:延时不变性:(定常特性)(定常特性)(定常特性)(定常特性)定理定理定理定理2 2:若线性时不变系统,输入为若线性时不变系统,输入为若线性时不变系统,输入为若线性时不变系统,输入为f f(t t)时,引起的响应为时,引起的响应为时,引起的响应为时,引起的响应为y y(t t),则则则则输入为输入为输入为输入为 f f(t-t-)时,引起的响应为时,引起的响应为时,引起的响应为时,引起的响应为 y y(t-t-)。这就是说,响应的波形。这就是说,响应的波形。这就是说,响应的波形。这就是说,响应的波形与输入的时间无关,仅是起点改变。即若与输入的时间无关
14、,仅是起点改变。即若与输入的时间无关,仅是起点改变。即若与输入的时间无关,仅是起点改变。即若f f(t t)y yzszs(t t),则,则,则,则(3).(3).微分特性:微分特性:微分特性:微分特性:定理定理定理定理3 3:若线性时不变系统在激励若线性时不变系统在激励若线性时不变系统在激励若线性时不变系统在激励f f(t t)作用下,产生零状态响应为作用下,产生零状态响应为作用下,产生零状态响应为作用下,产生零状态响应为y yzszs(t t),则当激励为,则当激励为,则当激励为,则当激励为 f f(t t)时,其响应为时,其响应为时,其响应为时,其响应为yy(t t)f(t)零状态yzs
15、(t)证明:因为证明:因为证明:因为证明:因为 f f(t t)y y(t t)根据延时不变性:根据延时不变性:根据延时不变性:根据延时不变性:f f(t tt t)y y(t t t t)又因为系统具有叠加性和均匀性:又因为系统具有叠加性和均匀性:又因为系统具有叠加性和均匀性:又因为系统具有叠加性和均匀性:根据导数的定义有:根据导数的定义有:证毕。证毕。推论:推论:推论:推论:(1 1 1 1)这个特性可以推广至高阶导数和积分。)这个特性可以推广至高阶导数和积分。)这个特性可以推广至高阶导数和积分。)这个特性可以推广至高阶导数和积分。(2 2 2 2)对几个典型的信号有:)对几个典型的信号有
16、:)对几个典型的信号有:)对几个典型的信号有:(4).(4).(4).(4).因果特性:因果特性:因果特性:因果特性:a.a.a.a.因果系统:如果因果系统:如果因果系统:如果因果系统:如果t t t t0 0 0 0时,系统的激励信号为时,系统的激励信号为时,系统的激励信号为时,系统的激励信号为0 0 0 0,相应的输出,相应的输出,相应的输出,相应的输出响应在响应在响应在响应在t t t t0 0时也等于时也等于时也等于时也等于0 0 0 0,则这样的系统称为因果系统。,则这样的系统称为因果系统。,则这样的系统称为因果系统。,则这样的系统称为因果系统。b.b.b.b.因果特性:因果系统的激
17、励是产生响应的原因,响应是激励因果特性:因果系统的激励是产生响应的原因,响应是激励因果特性:因果系统的激励是产生响应的原因,响应是激励因果特性:因果系统的激励是产生响应的原因,响应是激励引起的效果,或者说系统没有预知未来的能力,只有在激引起的效果,或者说系统没有预知未来的能力,只有在激引起的效果,或者说系统没有预知未来的能力,只有在激引起的效果,或者说系统没有预知未来的能力,只有在激励加入后,才有响应输出,这种特性叫系统的因果特性。励加入后,才有响应输出,这种特性叫系统的因果特性。励加入后,才有响应输出,这种特性叫系统的因果特性。励加入后,才有响应输出,这种特性叫系统的因果特性。一切物理可实现
18、系统都是因果系统,都具有因果特性。一切物理可实现系统都是因果系统,都具有因果特性。一切物理可实现系统都是因果系统,都具有因果特性。一切物理可实现系统都是因果系统,都具有因果特性。由常系数微分方程描述的系统都是因果系统,都满足由常系数微分方程描述的系统都是因果系统,都满足由常系数微分方程描述的系统都是因果系统,都满足由常系数微分方程描述的系统都是因果系统,都满足因果性,因此,因果系统的充分必要条件是:因果性,因此,因果系统的充分必要条件是:因果性,因此,因果系统的充分必要条件是:因果性,因此,因果系统的充分必要条件是:h h(t t)=0 ()=0 (t t0)0)g g(t t)=0 ()=0
19、 (t t0)0)例:某例:某例:某例:某LTISLTIS,在相同的初始状态下,输入为,在相同的初始状态下,输入为,在相同的初始状态下,输入为,在相同的初始状态下,输入为f f(t t)时,响应时,响应时,响应时,响应为:为:为:为:y y(t t)=(2(2e e-3-3t t+sinsin2 2t t)U U(t t),输入为,输入为,输入为,输入为2 2f f(t t)时,响应为:时,响应为:时,响应为:时,响应为:y y(t t)=(2(2e e-3-3t t+2 2sinsin2 2t t)U U(t t)试求试求:(:(1)初态加大一倍,输入为)初态加大一倍,输入为f(t)/2,系统响应,系统响应 (2)初态不变,输入为)初态不变,输入为f(t-t0)时,系统响应时,系统响应解:解:设在相同初态和设在相同初态和f(t)作用下,作用下,(2 2 2 2)(3 3)思考:输入为思考:输入为 tf(t)或或 e-ktf(t),零状态是否还成线性。,零状态是否还成线性。联解得:联解得:
限制150内