2019七年级数学下册 培优新帮手 专题01 质数那些事试题 (新版)新人教版.doc
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1、10101质数那些事质数那些事阅读与思考阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除,就叫作质数(也叫素数);如果能被 1 和本身以外的自然数整除,就叫作合数;自然数 1 既不是质数,也不是合数,叫作单位数这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:1 单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质:1质数有无穷多个,最小的质数是 2,但不存在最大的质数,最小的合数是 421 既不是质数,也不是合数;2 是唯一的偶质数3若质数|,则必有|或|pabpapb4算术基本定理:任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数k之间的顺序关系):N= ,其中,为质数
2、,为非负数( =1,2,3,)12 12kaaa kP PP12kPPPiPiaik正整数 N 的正约数的个数为(1)(1)(1),所有正约数的和为(1)1a1a1a1P1 1aP(1)(1)2P2 2aPkPka kP例题与求解例题与求解【例例 1】1】已知三个质数,满足=99,那么的值abcabcabcabbcca等于_(江苏省竞赛试题)解题思想:解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出,的值abc【例例 2】2】若为质数,5 仍为质数,则7 为( )p3p5pA质数B可为质数,也可为合数2C合数D既不是质数,也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想:解题思想:从简单情形入手,实验、
3、归纳与猜想【例例 3】3】求这样的质数,当它加上 10 和 14 时,仍为质数(上海市竞赛试题)解题思想:解题思想:由于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论【例例 4】4】 将 1,2,2 004 这 2 004 个数随意排成一行,得到一个数,求证:一定是nn合数 若是大于 2 的正整数,求证:1 与1 中至多有一个质数n2n2n 求 360 的所有正约数的倒数和(江苏省竞赛试题)解题思想:解题思想:将 1 到 2 004 随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非 1 和本身的约数;只需说明
4、1 与1 中必有一个是合数,不能同2n2n为质数即可;逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解3【例例 5】5】设和是正整数,是奇质数,并且,求的值xyxyp112 xypxy解题思想:解题思想:由题意变形得出整除或,不妨设由质数的定义得到 2 1=1 或pxyxtpt2 1=由及 2 1 为质数即可得出结论tpxyt【例例 6】6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),都是质数求证:绝对质数的各位数码不能同时出现
5、数码 1,3,7,9(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想:解题思想:一个绝对质数如果同时含有数字 1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字 0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被 2 或 5 整除能力训练能力训练A A 级级1若,为整数,=1997,则=_ abcd2222abcd2222abcd2在 1,2,3,这个自然数中,已知共有个质数,个合数,个奇数,个偶nnpqkm数,则()()=_qmpk43设,为自然数,满足 1176=,则的最小值为_aba3ba(“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数,并且3 也是质数,则48 的值为_p6p11p(北京市竞赛试
6、题)5任意调换 12345 各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是 ( )A4B8C12D06在 2 005,2 007,2 009 这三个数中,质数有 ( )A0 个B1 个C2 个D3 个(“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大 9,这样的两位中,质数有()A1 个B3 个C5 个D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设,都是质数,并且=,求pqrpqrpqp9写出十个连续的自然数,使得个个都是合数(上海市竞赛试题)10在黑板上写出下面的数 2,3,4,1 994,甲先擦去其中的一个数,然后乙再擦去一5个数,如此轮流下去,若最后剩下的两
7、个数互质,则甲胜;若最后剩下的两个数不互质,则乙胜,你如果想胜,应当选甲还是选乙?说明理由(五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为cm 规格的地砖,恰用块,xn若选用边长为cm 规格的地砖,则要比前一种刚好多用 124 块,已知,都是正整数,且(yxyn,)=1,试问这块地有多少平方米?xy(湖北省荆州市竞赛试题)B B 级级1若质数,满足 57=129,则的值为_mnmnmn2已知,均为质数,并且存在两个正整数,使得=,=,则pqmnpmnqmn的值为_pqnmpq mn 3自然数,都大于 1,其乘积=2 000,则其和的abcdeabcdeabcde最大值
8、为_,最小值为_(“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第 1 9926个数是_(北京市“迎春杯”竞赛试题)5若,均为质数,且满足=2 089,则 49=_ab11abbaA0 B2 007C2 008D2 010(“五羊杯”竞赛试题)6设为质数,并且 78 和 87 也都为质数,记=778,=887,则在以下a2a2axaya情形中,必定成立的是()A,都是质数B,都是合数xyxyC,一个是质数,一个是合数 D对不同的,以上皆可能出现xya(江西省竞
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