2019九年级数学下册 专题突破讲练 a、b、c对抛物线y=ax2+bx+c的影响试题.doc
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1、1a a、b b、c c对抛物线对抛物线y yaxax2 2bxbxc c的影响的影响抛物线抛物线y yaxax2 2bxbxc c的图象及性质与系数的图象及性质与系数a a、b b、c c的关系制表的关系制表a、b、c的代数式作用说明a0开口向上a(1)a的正、负决定抛物线的开口方向;(2)a的大小决定抛物线的开口大小,a越大,开口越小;a越小,开口越大a0开口向下c0交点在y轴的正半轴c0交点在原点c确定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c) c0交点在y轴的负半轴a、b同号对称轴在y轴的左侧b 2a确定对称轴的位置,对称轴为直线xb 2aa、b异号对称轴在y轴的右侧b24ac0抛物
2、线与x轴有两个交点b24ac0抛物线与x轴有一个交点b24ac确定抛物线与x轴的交点的个数b24ac0抛物线与x轴无交点方法归纳:(1)当x1 时,yabc;当x1 时,yabc。若abc0,则x1 时y0;若abc0,则x1 时y0。(2)a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b0 时,对称轴为y轴;当ab0 时,对称轴在y轴左侧;当ab0 时,对称轴在y轴右侧。总结:1. 根据a、b、c的符号判断二次函数yax2bxc(a0)的图象的位置。2. 根据二次函数yax2bxc(a0)的图象求抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点,a、b、c的符号,一元二次方程ax2bxc0 的解。例题例题 1
3、 1 二次函数yax2bxc的图象如图所示,给出下列说法:2ac0;2ab0;abc0;当x1 时,函数y随x的增大而增大;当y0 时,1x3。其中,正确的说法有( )A. B. C. D. 解解析析:根据图象开口向下和与y轴的交点位置,求出a0,c0,即可判断;根据抛物线的顶点的横坐标1 可判定;把x1 代入抛物线,根据纵坐标y的值可判断;根据图象b 2a的性质(部分图象的延伸方向)可判断;根据图象在x轴的上方时,y0,即可求出x的取值范围。答答案案:抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,a0,c0,ac0,错误;由图象可知:1,2ab0,正确;当x1 时,b 2ayabc0,错误
4、;由图象可知:当x1 时,函数y随x的增大而减小,错误;根据图象,当1x3 时,y0,正确;正确的说法有。点拨:点拨:本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数的性质,二次函数与不等式等知识点的应用,注意:根据抛物线的开口方向即可得到a的正负,根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值,根据顶点的横坐标得出 2a和b的关系式,把x1 或1 代入即可求出abc和abc的值,题型较好,但有一定的难度。例题例题 2 2 已知一元二次方程 7x2(k13)xk20 的两实数根x1、x2满足0x11,1x22,求k的取值范围。xyO O12解解析析:画出二次函数y7x2(k13)xk2 的草图,根据
5、关键点确定不等式。答答案案:令y7x2(k13)xk2,则由已知条件可知,此抛物线与x轴有两个交点(x1,0) 、 (x2,0) ,0x11,1x22,并且开口向上,根据这些特点,画出其大致图象,如图所示,由图象可得,即。解这个不等式组得2k当x0时,y0 当x1时,y0 当x2时,y0)k20 7k13k20 282k26k20)3。4 3 点拨:点拨:本题用到了建模的思想,即建立二次函数模型,用函数知识解决方程问题,同时本题还运用了数形结合的思想方法,把变化的“数”用“形”清楚地显示出来。观察二次函数的图象时,重点是“六点一轴一方” 。所谓“六点”是指抛物线与x轴两交点(或交点的个数) 、
6、与y轴的交点、顶点、x1 时对应的抛物线上的点(1,y(1) 、 (1,y(1), “一轴”即对称轴, “一方”就是开口方向。其中开口方向决定a的符号,对称轴及a的符号决定b的符号,c的符号由抛物线与y轴的交点位置决定,b24ac的符号由抛物线与x轴的交点个数决定,点(1,y(1)决定abc的符号,点(1,y(1)决定abc的符号,同时应注意上述说法反过来也成立。例:例:若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:x1x2 ,x1x2 。把它称为一元二次方程根与系数的关b ac a系定理。如果设二次函数yax2bxc(a0
7、)的图象与x轴的两个交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) 。利用根与系数的关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为:ABx1x2。(x1x2)24x1x2(ba)24c ab24ac a2b24aca参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,抛物线的顶点为 C,显然ABC 为等腰三角形。(1)当ABC 为直角三角形时,求b24ac的值;(2)当ABC 为等边三角形时,求b24ac的值。解:解:(1)当ABC 为直角三角形时,过 C 作 CEAB 于 E,则 AB2CE。抛物线与x轴有两个交点,b24ac
8、0,则b24acb24ac。a0,AB,又b24acab24aca4CE,2,b24ac4acb2 4ab24ac 4ab24acab24ac 4ab24acb24ac 2,b24ac0,b24ac4;(b24ac)2 4(2)当ABC 为等边三角形时,由等边三角形的性质和勾股定理可得CEAB,b24ac0,b24ac12。32b24ac 4a32b24aca分析:分析:本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质,抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理,综合性较强,难度中等。解题关键是建立抛物线顶点的纵坐标与抛物线和x轴两交点间线段长度的数量关系。(答题时间:(答题时间:3030 分钟)分钟)
9、一、选择题1. 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )A. a0B. 当1x3 时,y0C. c0D. 当x1 时,y随x的增大而增大*2. 在同一坐标系内,一次函数yaxb与二次函数yax28xb的图象可能是( )5*3. 如图所示,二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点(1,2) ,且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中2x11,0x21,下列结论:abc0;4a2bc0;2ab0。其中正确的个数是( )xyO O2 21 1- -1 1- -2 2A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个*4. 已知b0 时,二次函数yax2bxa21 的
10、图象如下列四个图之一所示。根据图象分析,a的值等于( )A. 2B. 1C. 1D2*5. 如图,抛物线yax2bxc(a0)过点(1,0)和点(0,2) ,且顶点在第三象限,设 Pabc,则 P 的取值范围是( )A. 4P0B. 4P2C. 2P0D. 1P0*6. 小轩从如图所示的二次函数yax2bxc(a0)的图象中,观察得出了下面五条信息:ab0;abc0;b2c0;a2b4c0;ab。你认为其中正确信息的个数有3 2( )A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个6二、填空题7. 如图所示,在同一个坐标系内,二次函数y1ax2bxc(a0)和一次函数y2dxe(d0)的图象相
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