定积分进一步应.ppt
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1、3.4 定积分的进一步应用 3.4.1 平面图形的面积 3.4.2 立体的体积 3.4.3 平面曲线的弧长 3.4.4 变力沿直线所作的功 3.4.5 压力 3.4.6 引力 3.4.7 函数的平均值 3.4.1 平面图形的面积 一、不规则图形的面积 二、进一步练习一般地,求由区间a,b上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)一、一、不规则图形的面积不规则图形的面积以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积,如图所示,用微元法分析如下(1)任意一个小区间(其中x、)上的窄条为面积dS可以用底宽为dx,高度的窄条矩形的 面积来近似计算,即面积微元为(2)以 为被积表达式,在区间 上积分,得该平面图
2、形的面积 练习1 窗户面积 二二、进一步的练习进一步的练习某一窗户的顶部设计为弓形,上方曲线为一抛物线,下方为直线,如图所示,求此弓形的面积 建立直角坐标系如图所示解设此抛物线方程为,因它过点,所以 即抛物线方程为 此图形的面积实际上为由曲线 与直线 所围成图形的面积,面积微元为 面积为(m)所以窗户的面积为0.683m2 练习2 游泳池的表面面积 一个工程师正用CAD(computer-assisted desigen计算机辅助设计)设计一游泳池,游泳池的表面是由曲线以及x=8围成的图形,如图所示,求此游泳池的表面面积 解解联立方程组 得两条曲线的左交点(0,0),右交点的横坐标此游泳池的表
3、面面积为=77.26(m)大于8于是,面积微元为 3.4.2 立体的体积 一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积 三、进一步练习设一立体位于平面 x=a、x=b(ab)如图所示.任意一个垂直于x轴的平面截此物体所得的截面面积为 一、一、平行截面面积为已知的立体的体积 A(x),A(x)是a,b上的连续函数该立体介于区间 之间的薄片的体积微元dV.可用底面积 A(x)、高为 dx的柱形薄片的体积近似计算,从而体积微元为 将其在区间a,b上积分,得到该立体的体积 二二 旋转体的体积旋转体的体积(1)平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积 由连续曲线y=f(x)、直线 x=a、x=b以及x
4、轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体,如图所示 它被任意一个垂直于x轴的平面所截,得到的截面为以f(x)为半径的圆,其面积为 故所求旋转体的体积为(2)绕y轴旋转所成的立体的体积 y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为、直线 y=c、由连续曲线练习1 喇叭体积 三三、进一步的练习进一步的练习的图形绕x轴旋转所成的旋转体,如图所示一喇叭可视为由曲线直线x=1以及x轴所围成求此旋转体的体积解在0,1上任取一点x,此旋转体的体积微元可近似地视为以f(x)为半径的圆为底(即以面积为的圆为底)的柱体,从而体积微元为 所求旋转体的体积V为 练习2 机器底座的体积某人正在用
5、计算机设计一台机器的底座,它在第一、以及x轴、y轴围成,象限的图形由底座由此图形绕y轴旋转一周而成,如图所示试求此底座的体积 解以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的所求体积为 此图形实为由曲线 与直线y=2、y=0旋转体体积微元为 3.4.3 平面曲线的弧长 一、弧长的计算 二、进一步练习曲线y=f(x)相应于 a,b上的任一微小区间 一、一、弧长的计算弧长的计算的长度ds来近似代替,所以弧长微元(即弧微分)为 所求弧长为 的一小段弧的长度,可以用该曲线在点(x,f(x))处的切线上相应的一小段练习1运动路程 二二、进一步的练习进一步的练习(t的单位:s;s的单位:m)求它从时刻t=0s
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