2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题05 常见函数与导数中的不等关系学案.doc
《2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题05 常见函数与导数中的不等关系学案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题05 常见函数与导数中的不等关系学案.doc(16页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、1专题专题 0505 常见函数与导数中的不等关系常见函数与导数中的不等关系1 1、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理若函数)(f x满足如下条件:(1))(f x在闭区间b, a上连续;(2))(f x在开区间b, a上可导;则在区间b, a上至少存在一点,使得abafbf )()()( f几何意义:在闭区间b, a上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点),()(fM,过点M的切线平行于割线AB二、四类基本初等函数结论及推导二、四类基本初等函数结论及推导设函数)(yxf上任意两点)(212211x),(,(),(,(AxxfxBxfx,过A、B两点直线的斜率1212 1)
2、()(fkxxxfx ,A、B两点中点的横坐标为2x21x, )(yxf在中点横坐标处的切线斜率)2( k21 2xxf,)(yxf在A点处切线的斜率)( k13xf,)(yxf在B点处切线的斜率)( k24xf注:下面论述中都是假设21xx,4321,kkkk都与上述表示是一致的。(1)对于函数)0( ,)(f2acbxaxx,则4213kkkk证明:证明:2(2)对于函数xxln)(f,则3124kkkk12121212 1lnln)()(fkxxxx xxxfx ,2121 22)2( kxxxxf1131)( kxxf, 2241)( kxxf,)(210xx 证明:证明:0)(12k
3、2112112132xxxxx xxxk,即32kk 0)(12k2121222142xxxxx xxxk,即42kk 所以我们可以得到324kkkxyBAO图(1)由图(1)可以看出割线的斜率大于B点处切线的斜率小于A点处切线的斜率,即314kkk其实,我们也可以借助拉格朗日中值定理的几何意义去解释为什么上述的不等关系是成立的。对于xxln)(f而言在区间21,x x上是连续的,在区间21,x x上是可导的,故在区间21,x x上毕存在一点),()(fM,使得过点M的切线斜率等于割线AB斜率,即),(211x1)( kxf,又因为xx1)( f在区间21,x x是单调减函数,故12x11 x
4、1,即314kkk。下面我们再用分析证明法证明314kkk31121221lnln1 xxxxx x112 12 212xlnlnx xxxxxx1ln1x12121212xx xxxxx证明方法证明方法 1 1:先用分析证明的思想21kk 2112122lnl xxxxxnx 1212 12)(2lnlxxxxxnx 1) 1(2 ln121212 xxxxxx令) 1( ,x12ttx即证1) 1(2lnttt在), 1 (t恒成立设), 1 (,1) 1(2ln)(gttttt,因为0) 1() 1( ) 1(41)(g222ttt ttt所以) t (g在区间),(1上是单调递增函数,
5、0) 1 () t (g g,即1) 1(2lnttt,得证。评述:评述:上述方法是令tx12x,其思想就是将两个元变成一个元,最后变成一个关于t的函数,运用导数判断单调性进而证明出结论。但并不是每一类函数都能够通过消元完成证明,后面讲正弦函数的时候你会发现换元法就不能很好的去发挥作用。因此在这里介绍证明的第二种方法。证明方法证明方法 2 2:既然我们假设的是21xx ,那么我们可以这样去想,将2x看成是一个变化的常量,那么41x就是区间),(2x0上的任意一个数,那么我们就构造出一个关于1x的函数)(h1x,令), 0(,)(2lnln)(h21 2112 121xxxxxxxxx,对)(h
6、1x进行求导得到0)()( )(41 )()()(21)( h2 2112 21 2 21212 21122111xxxxx xxx xxxxxxx xx所以)(h1x在), 0(x21x是单调减函数,则0)(h)(h21xx即0)(2lnln2112 12xxxxxx 化简可得2112122lnl xxxxxnx ,得证。(3)对于函数xxe)(f,则4123kkkk121212 112e)()(fkxxe xxxfxxx,221 221 e)2( kxxxxf 1e)( k13xxf,2e)( k24xxf证明:证明:1k223212121 xxxxxeee k,即23kk 1k22422
7、1221 xxxxxeee k,即42kk 所以我们可以得到423kkkxyOAB图(2)由图(2)可以看出割线的斜率大于A点处切线的斜率小于B点处切线的斜率,即413kkk。其实,5我们也可以借助拉格朗日中值定理的几何意义去解释为什么上述的不等关系是成立的。对于xxe)(f而言在区间21,x x上是连续的,在区间21,x x上是可导的,故在区间21,x x上毕存在一点),()(fM,使得过点M的切线斜率等于割线AB斜率,即),(211xe)( kxf ,又因为xxe)( f在区间21,x x是单调增函数,故21eeexx,即413kkk。 下面我们再用分析证明法证明413kkk212112e
8、xxx xexxee)(不等式两边同时除以11212 e1112xxxxx exxe 令)(0tx12tx,即证明ttte1et证明方法证明方法 1 1:先用分析证明的思想21kk 2122112exxxx exxe 212x12121exxx exx 2 12x1212x1exx xex )(令)0( ,x12ttx即证21et tte在), 0(t恒成立设21eg(t)t tte,因为)21(2e)(g2222teeetettttt t设,21h(t)2tet )上单调递增,在(,则0)(h021 21)( h2tett0)0( )(g0)(g0)0()(hgttht)上单调递增,则,在(
9、,6所以) t (g在区间),(0上是单调递增函数,0)0() t (g g,即21et tte,得证。另外一种换元方法:21kk 2122112exxxx exxe 1ee122x-x 2x-x2112 xx122x-x 2x-x2112 eexx 令)0( ,2x12ttx即证ttt2ee-在), 0(t恒成立设ttt2eeg(t)-,因为02ee)(g-ttt,所以) t (g在区间),(0上是单调递增函数,0)0() t (g g,即ttt2ee-,得证。评述:评述:对于函数xexf)(,第一种换元方式是令tx 12x,第二种换元方式是令tx 2x12,它们的思想都是将两个元变成一个元
10、,最后变成一个关于t的函数,运用导数判断单调性进而证明出结论,第二种换元方式在后面的证明中会简单一点,不必再二次求导。这里要注意对比函数xxfln)(的证明方法,基本的证明思路是一致的,在换元的处理上需要注意一下区别。证明方法证明方法 2 2:既然我们假设的是21xx ,那么我们可以这样去想,将2x看成是一个变化的常量,那么1x就是区间),(2x-上的任意一个数,那么我们就构造出一个关于1x的函数)(h1x,令),(,)(e)(h212 1212112xxexxexxx xx ,对)(h1x进行求导得到,)(211 ()(21e)( h12222 122 1212121211 xxeeexxe
11、xxxxxxxxx x上面我们已经证明了1e tt,将上述2x21x换成t就能得到0)(21112221 xxexx 即,0)( hx所以)(h1x在),- (x21x是单调减函数,则0)(h)(h21xx即,0)(e2 122112xx xxexxe化简得到2122112exxxx exxe ,得证。(4)对于函数), 0(s)(fxinxx,则3124kkkk12121212 1sinxsin)()(fkxxx xxxfx ,2c)2( k2121 2xxosxxf113cosx)( kxf,224cos)( kxxf,)(210xx7证明:证明:因为xcosy 在),(0上是单调减函数,
12、又221 12xxxx故121 2cos2coscosxxxx,即124kkkyxAB图(3)由图(3)可以看出割线的斜率大于B点处切线的斜率小于A点处切线的斜率,即314kkk。其实,我们也可以借助拉格朗日中值定理的几何意义去解释为什么上述的不等关系是成立的。对于xxsin)(f而言在区间21,x x上是连续的,在区间21,x x上是可导的,故在区间21,x x上必存在一点),()(fM,使得过点M的切线斜率等于割线AB斜率,即),(211xcos)( kxf,又因为xxcos)( f在区间21,x x是单调减函数,故12coscoscosxx,即314kkk。借鉴xyln与xey的证明方法
13、去证明割线的斜率与端点处切线斜率的大小会遇到一定的困难,xyln与xey这两类函数的证明都是通过换元法将 12x x或12xx换成t,最后整理成一个关于t的函数,进而运用导数去证明。而对于xsiny 无论怎么换元都会出现两个变量21xx 、,故我们可以将2x看成是一个变化的常量,那么1x就是区间),(2x0上的任意一个数,那么我们就构造出一个关于1x的函数)(h1x证明:令), 0(,cos)(sinsin)(h21212121xxxxxxxx,对)(h1x进行求导得到,0coscos)( h211xxx,所以)( h1x在)(2x0,上是单调递减函数, 则0)()(h21xhx,化简可得2
14、1212cossinsinxxxxx,即41kk ,得证令), 0(,cos)(sinsin)(g21112121xxxxxxxx,对)(g1x进行求导得到,0sin)(sin)(coscos)( g112112111xxxxxxxxx,所以)(g1x在), 0(21xx 是单调增函数,80)(g)(g21xx,化简可得1 1212cossinsinxxxxx,即31kk ,得证综上所述,314kkk对于21kk、大小的证明我们可以借助与学习三角恒等变换中的和差化积的公式,将21xx、表示如下:22,221212 21212 1xxxxxxxxxx为了表示方便我们令2,21212xxxx,则2
15、1,xxsincossinxsink1212 1xxx,cos2ck21 2xxos210xx,20 ,0令 sin)(f,则01cos)( f,所以)(f在),(20上是单调减函数,0)0()( ff,即sin,cossincos,即21kk 当然21kk、大小的证明也可以将2x看成是一个变化的常量,1x就是区间),(2x0上的任意一个数,构造出一个关于1x的函数,用导数去判别函数单调性进而证明,但证明过程比较繁琐,读者可以尝试自行去证明。三、例题分析三、例题分析例例 1 1、 (20162016 苏锡常镇高三一模苏锡常镇高三一模 1919)设aR,函数axxxf ln)(,若)(xf有两个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019 高考 数学 一轮 复习 突破 140 必备 专题 05 常见 函数 导数 中的 不等 关系学
限制150内