2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题10 数列中的递推问题学案.doc
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1、1专题专题 1010 数列中的递推问题数列中的递推问题谈到求数列通项公式同学们都不陌生,我们学过的方法有累加法、累乘法、运用)2(1nSSannn等,其中)2(1nSSannn就是一个简单的递推,运用递推求数列通项公式其实就是不停的令1 nn或1 nn等得到新的关系式,再对得到的式子进行加减乘除运算,最后证明到数列na是个特殊的数列,运用此方法的难点就在于如何寻找新的关系式以及如何处理原有的和新的关系式,通过何种运算达到最终的目的,易错点在于每一次递推都要注意下标n的范围,往往最后得到的式子也不能完全说明na是等差或等比,因为递推中n的范围使得na是从某一项开始呈现等差或等比的性质,最终还要验
2、证前面几项,下面我们通过实例来看看如何处理这样的试题。例例 1 1、 (20112011 江苏高考江苏高考 2020)设M为部分正整数组成的集合,数列na的首项11a,前 n 项和为nS,已知对任意整数k属于M,当kn 时,)(2knknknSSSS都成立。(1)设1M,22a,求5a的值;(2)设 4 , 3M,求数列na的通项公式。解:(1)因为1M,所以1k则)2)(2111nSSSSnnn)3)(211 -2nSSSSnnn由 -得)3(211naaannn所以当2n时,数列na为等差数列而22a,23211353,2()7,4,8;SSSSSaa(2)因为 4 , 3M,所以3k或4
3、k则)4)(2333nSSSSnnn )3)(23124nSSSSnnn)5)(2444nSSSSnnn )4)(24135nSSSSnnn由-得)5(2434naaann由得)4(2425naaann由-得)4(2124naaannn由-得)5(2135naaannn由可知214nnnaaa、成等差数列,设公差为1d由可知315nnnaaa、成等差数列,设公差为2d所以2352daann,1242daann2两式相减得)(2122345ddaaaannnn*由 -可得3245nnnnaaaa *由*可得321245nnnnaaddaa所以当2n时,数列na为等差数列,设公差为d由得)(234
4、17SSSS,化简得2542 da由得)(24519SSSS,化简得1532 da所以2, 32da又11a,所以数列na是首项为1,公差为2的等差数列所以12 nan例例 2 2、 (20172017 江苏高考江苏高考 1919)对于给定的正整数k,若数列na满足nknknnnknknkaaaaaaa21111 对任意正整数)(knn 总成立,则称数列na 是“)(kP数列”. (1)证明:等差数列na是“)3(P数列” ;(2)若数列na既是“)2(P数列” ,又是“)3(P数列” ,证明:na是等差数列.(2)数列na既是“)2(P数列” ,又是“)3(P数列,所以当3n时,nnnnna
5、aaaa42112当4n时,nnnnnnnaaaaaaa6321123由可知,)4(41123naaaaannnnn3)2(41321naaaaannnnn+得)4)(4211321123naaaaaaaaannnnnnnnn由 -得)4(211naaannn所以当3n时,na是等差数列,设其公差为d.在中,取4n ,则235644aaaaa,化简得23daa在中,取3n ,则124534aaaaa,化简得12daa所以数列na是等差数列.注:注:在数列递推时一定要注意下标n的范围,最容易出现错误的是得到nnnaaa211就错误的下结论na是等差数。 例例 3 3、 (20182018 苏北四
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