2014年北京市高考数学试卷(文科).doc
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1、第 1 页(共 24 页)2014 年北京市高考数学试卷(文科)年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项出符合题目要求的一项1 (5 分)若集合 A=0,1,2,4,B=1,2,3,则 AB=( )A0,1,2,3,4B0,4 C1,2 D32 (5 分)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( )Ay=exBy=x Cy=lnxDy=|x|3 (5 分)已知向量 =(2,4) , =(1,1) ,则 2 =( )A (5,7)B (5,9)C
2、(3,7) D (3,9)4 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )A1B3C7D155 (5 分)设 a,b 是实数,则“ab”是“a2b2”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6 (5 分)已知函数 f(x)=log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( )A (0,1)B (1,2)C (2,4) D (4,+)7 (5 分)已知圆 C:(x3)2+(y4)2=1 和两点 A(m,0) ,B(m,0)(m0) ,若圆 C 上存在点 P,使得APB=90,则 m 的最大值为( )A7B6C5D4第 2 页(共 24 页
3、)8 (5 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数) ,如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A3.50 分钟B3.75 分钟C4.00 分钟D4.25 分钟二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分9 (5 分)若(x+i)i=1+2i(xR) ,则 x= 10 (5 分)设双曲线 C 的两个焦点为(,0) , (,0) ,一个顶点是(1,0) ,则 C 的方程为 1
4、1 (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为 12 (5 分)在ABC 中,a=1,b=2,cosC=,则 c= ;sinA= 13 (5 分)若 x,y 满足,则 z=x+y 的最小值为 第 3 页(共 24 页)14 (5 分)顾客请一位工艺师把 A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为 个工作日三、解答题,共三、解答题,共 6 小题,满分小题,满分 8
5、0 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程程15 (13 分)已知an是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前 n 项和16 (13 分)函数 f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示()写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0的值;()求 f(x)在区间,上的最大值和最小值第 4 页(共 24 页)17 (14 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E、F 分别为 A1C1、
6、BC 的中点(1)求证:平面 ABE平面 B1BCC1;(2)求证:C1F平面 ABE;(3)求三棱锥 EABC 的体积18 (13 分)从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:排号分组频数10,2)622,4)834,6)17第 5 页(共 24 页)46,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100()从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率;()求频率分布直方图中的 a,b 的值;()假设同一组中的每个数据可用该
7、组区间的中点值代替,试估计样本中的100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论)19 (14 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4()求椭圆 C 的离心率;第 6 页(共 24 页)()设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,求线段 AB 长度的最小值20 (13 分)已知函数 f(x)=2x33x()求 f(x)在区间2,1上的最大值;()若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围;()问过点 A(1,2) ,B(2,10) ,C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)第
8、7 页(共 24 页)2014 年北京市高考数学试卷(文科)年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项出符合题目要求的一项1 (5 分)若集合 A=0,1,2,4,B=1,2,3,则 AB=( )A0,1,2,3,4B0,4 C1,2 D3【分析】直接利用交集的运算得答案【解答】解:A=0,1,2,4,B=1,2,3,AB=0,1,2,41,2,3=1,2故选:C【点评】本题考查交集及其运算,是基础题2 (5 分)
9、下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( )Ay=exBy=x Cy=lnxDy=|x|【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件,即可得到结论【解答】解:A函数的定义域为 R,但函数为减函数,不满足条件B函数的定义域为 R,函数增函数,满足条件C函数的定义域为(0,+) ,函数为增函数,不满足条件D函数的定义域为 R,在(0,+)上函数是增函数,在(,0)上是减函数,不满足条件故选:B【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断,比较基础3 (5 分)已知向量 =(2,4) , =(1,1) ,则 2 =( )A (5,7)B (5,9)C (3,7) D (3,9)【分析】直接利用平面
10、向量的数乘及坐标减法运算得答案【解答】解:由 =(2,4) , =(1,1) ,得:第 8 页(共 24 页)2 =2(2,4)(1,1)=(4,8)(1,1)=(5,7) 故选:A【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算,是基础的计算题4 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )A1B3C7D15【分析】算法的功能是求 S=1+21+22+2k的值,根据条件确定跳出循环的 k 值,计算输出的 S 值【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1+21+22+2k的值,跳出循环的 k 值为 3,输出 S=1+2+4=7故选:C【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据
11、框图的流程判断算法的功能是解题的关键5 (5 分)设 a,b 是实数,则“ab”是“a2b2”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断,此题的关键是对不等式性质的理解【解答】解:因为 a,b 都是实数,由 ab,不一定有 a2b2,如23,但(2)2(3)2,所以“ab”是“a2b2”的不充分条件;第 9 页(共 24 页)反之,由 a2b2也不一定得 ab,如(3)2(2)2,但32,所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选:D【点评】判断充要条件的方法是:若 pq 为真命题且
12、qp 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;若 pq 为假命题且 qp 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件;若 pq 为真命题且 qp 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;若 pq 为假命题且 qp 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系涉及不等式平方大小的比较问题,举反例不失为一种有效的方法6 (5 分)已知函数 f(x)=log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( )A (0,1)B (1,2)C (2,4)
13、D (4,+)【分析】可得 f(2)=20,f(4)=0,由零点的判定定理可得【解答】解:f(x)=log2x,f(2)=20,f(4)=0,满足 f(2)f(4)0,f(x)在区间(2,4)内必有零点,故选:C【点评】本题考查还是零点的判断,属基础题7 (5 分)已知圆 C:(x3)2+(y4)2=1 和两点 A(m,0) ,B(m,0)(m0) ,若圆 C 上存在点 P,使得APB=90,则 m 的最大值为( )A7B6C5D4第 10 页(共 24 页)【分析】根据圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5,可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6再由APB=90,可得 PO=AB=
14、m,可得 m6,从而得到答案【解答】解:圆 C:(x3)2+(y4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1,圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5,圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6再由APB=90可得,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点,可得 PO=AB=m,故有 m6,故选:B【点评】本题主要直线和圆的位置关系,求得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,是解题的关键,属于中档题8 (5 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数)
15、 ,如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )第 11 页(共 24 页)A3.50 分钟B3.75 分钟C4.00 分钟D4.25 分钟【分析】由提供的数据,求出函数的解析式,由二次函数的图象与性质可得结论【解答】解:将(3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5)分别代入 p=at2+bt+c,可得,解得 a=0.2,b=1.5,c=2,p=0.2t2+1.5t2,对称轴为 t=3.75故选:B【点评】本题考查了二次函数模型的应用,考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题,确定函数模型是关键二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,
16、每小题 5 分,共分,共 30 分分9 (5 分)若(x+i)i=1+2i(xR) ,则 x= 2 【分析】化简原式可得1+xi=1+2i,由复数相等的定义可得【解答】解:(x+i)i=1+2i,1+xi=1+2i,由复数相等可得 x=2故答案为:2【点评】本题考查复数相等的充要条件,属基础题10 (5 分)设双曲线 C 的两个焦点为(,0) , (,0) ,一个顶点是第 12 页(共 24 页)(1,0) ,则 C 的方程为 x2y2=1 【分析】利用双曲线 C 的两个焦点为(,0) , (,0) ,一个顶点是(1,0) ,可得 c=,a=1,进而求出 b,即可得出双曲线的方程【解答】解:双
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