2013年广东省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 24 页)2013 年广东省高考数学试卷(理科)年广东省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 40 分,在每小题给出的四个分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设集合 M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x22x=0,xR,则 MN=( )A0 B0,2 C2,0 D2,0,22 (5 分)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( )A4B3C2D13 (5 分)若复数 z 满足 iz
2、=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A (2,4)B (2,4)C (4,2)D (4,2)4 (5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P则 X 的数学期望 E(X)=( )AB2CD35 (5 分)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A4BCD6第 2 页(共 24 页)6 (5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A若 ,m,n,则 mn B若 ,m,n,则 mnC若 mn,m,n,则 D若 m,mn,n,则 7 (5 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于,则 C 的方程是
3、( )ABCD8 (5 分)设整数 n4,集合 X=1,2,3,n令集合 S=(x,y,z)|x,y,zX,且三条件 xyz,yzx,zxy 恰有一个成立若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( )A (y,z,w)S, (x,y,w)SB (y,z,w)S, (x,y,w)SC (y,z,w)S, (x,y,w)SD (y,z,w)S, (x,y,w)S二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答小题,考生作答 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 30 分分9 (5 分)不等式 x2+x20 的解集为 10 (5 分)若曲线 y=kx
4、+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= 11 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为 第 3 页(共 24 页)12 (5 分)在等差数列an中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7= 13 (5 分)给定区域 D:令点集 T=(x0,y0)D|x0,y0Z, (x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定 条不同的直线14 (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为(t 为参数) ,C 在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l
5、的极坐标方程为 15如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E若 AB=6,ED=2,则 BC= 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,满分小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤演算步骤16 (12 分)已知函数 f(x)=cos(x) ,xR()求 f()的值; ()若 cos=,(,2) ,求 f(2+) 17 (12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数(1)根据
6、茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间12 名工人中有几名优秀工人?第 4 页(共 24 页)(3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率18 (14 分)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,A=90,BC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点,O 为 BC 的中点将ADE 沿 DE 折起,得到如图2 所示的四棱椎 ABCDE,其中 AO=(1)证明:AO平面 BCDE;(2)求二面角 ACDB 的平面角的余弦值19 (14 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知a1=1,nN*(1)求 a2的值;(2)求
7、数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数 n,有20 (14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c0)到直线l:xy2=0 的距离为,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA,PB,其中 A,B 为切点(1)求抛物线 C 的方程;(2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|BF|的最小值21 (14 分)设函数 f(x)=(x1)exkx2(kR) (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间;第 5 页(共 24 页)(2)当时,求函数 f(x)在0,k上的
8、最大值 M第 6 页(共 24 页)2013 年广东省高考数学试卷(理科)年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 40 分,在每小题给出的四个分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设集合 M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x22x=0,xR,则 MN=( )A0 B0,2 C2,0 D2,0,2【分析】根据题意,分析可得,M=0,2,N=0,2,进而求其并集可得答案【解答】解:分析可得,M 为方程 x2+2x=0
9、 的解集,则 M=x|x2+2x=0=0,2,N 为方程 x22x=0 的解集,则 N=x|x22x=0=0,2,故集合 MN=0,2,2,故选:D【点评】本题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集2 (5 分)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( )A4B3C2D1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可【解答】解:y=x3的定义域为 R,关于原点对称,且(x)3=x3,所以函数 y=x3为奇函数;y=2x的图象过点(0,1) ,既不关于原点对称,也不关于 y 轴对称,为非奇非偶函数;y=x
10、2+1 的图象过点(0,1)关于 y 轴对称,为偶函数;第 7 页(共 24 页)y=2sinx 的定义域为 R,关于原点对称,且 2sin(x)=2sinx,所以 y=2sinx 为奇函数;所以奇函数的个数为 2,故选:C【点评】本题考查函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决该类题目的基本方法,要熟练掌握3 (5 分)若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A (2,4)B (2,4)C (4,2)D (4,2)【分析】由题意可得 z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i,从而求得 z 对应的点的坐标【解答】解:复数 z 满足 iz=2+4i,则
11、有 z=42i,故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,2) ,故选:C【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题4 (5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P则 X 的数学期望 E(X)=( )AB2CD3【分析】利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解:由数学期望的计算公式即可得出:E(X)=故选:A第 8 页(共 24 页)【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键5 (5 分)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A4BCD6【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可【解答】
12、解:几何体是四棱台,下底面是边长为 2 的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为 2,并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为 V=故选:B【点评】本题考查三视图与几何体的关系,棱台体积公式的应用,考查计算能力与空间想象能力6 (5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A若 ,m,n,则 mn B若 ,m,n,则 mnC若 mn,m,n,则 D若 m,mn,n,则 【分析】由 ,m,n,可推得 mn,mn,或 m,n 异面;由,m,n,可得 mn,或 m,n 异面;由 mn,m,n,可得 与 可能相交或平行;由 m,mn,则 n,再由 n
13、可得 第 9 页(共 24 页)【解答】解:选项 A,若 ,m,n,则可能 mn,mn,或 m,n异面,故 A 错误;选项 B,若 ,m,n,则 mn,或 m,n 异面,故 B 错误;选项 C,若 mn,m,n,则 与 可能相交,也可能平行,故 C 错误;选项 D,若 m,mn,则 n,再由 n 可得 ,故 D 正确故选:D【点评】本题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系,属基础题7 (5 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于,则 C 的方程是( )ABCD【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F(3,0) ,离心率为 ,建立方程组
14、,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程【解答】解:设双曲线方程为 (a0,b0) ,则双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于 ,c=3,a=2,b2=c2a2=5双曲线方程为 故选:B【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题8 (5 分)设整数 n4,集合 X=1,2,3,n令集合 S=(x,y,z)|x,y,zX,且三条件 xyz,yzx,zxy 恰有一个成立若第 10 页(共 24 页)(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( )A (y,z,w)S, (x,y,w)SB (y,z,w)S, (x,y,w)SC (y,z
15、,w)S, (x,y,w)SD (y,z,w)S, (x,y,w)S【分析】特殊值排除法,取 x=2,y=3,z=4,w=1,可排除错误选项,即得答案【解答】解:方法一:特殊值排除法,取 x=2,y=3,z=4,w=1,显然满足(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,此时(y,z,w)=(3,4,1)S, (x,y,w)=(2,3,1)S,故 A、C、D均错误;只有 B 成立,故选 B直接法:根据题意知,只要 yzw,zwy,wyz 中或xyw,ywx,wxy 中恰有一个成立则可判断(y,z,w)S, (x,y,w)S(x,y,z)S, (z,w,x)S,xyz,yzx,zxy三个式子中恰
16、有一个成立; zwx,wxz,xzw三个式子中恰有一个成立配对后有四种情况成立,第一种:成立,此时 wxyz,于是(y,z,w)S, (x,y,w)S;第二种:成立,此时 xyzw,于是(y,z,w)S, (x,y,w)S;第三种:成立,此时 yzwx,于是(y,z,w)S, (x,y,w)S;第四种:成立,此时 zwxy,于是(y,z,w)S, (x,y,w)S综合上述四种情况,可得(y,z,w)S, (x,y,w)S故选:B【点评】本题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属基础题二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答小题,考生作答 6 小题,每小题小题,
17、每小题 5 分,满分分,满分 30 分分9 (5 分)不等式 x2+x20 的解集为 (2,1) 第 11 页(共 24 页)【分析】先求相应二次方程 x2+x2=0 的两根,根据二次函数 y=x2+x2 的图象即可写出不等式的解集【解答】解:方程 x2+x2=0 的两根为2,1,且函数 y=x2+x2 的图象开口向上,所以不等式 x2+x20 的解集为(2,1) 故答案为:(2,1) 【点评】本题考查一元二次不等式的解法,属基础题,深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的基本步骤是:求二次方程的根;作出草图;据图象写出解集10 (5 分)若曲线 y=kx+lnx 在点
18、(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= 1 【分析】先求出函数的导数,再由题意知在 1 处的导数值为 0,列出方程求出k 的值【解答】解:由题意得,y=k+,在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,k+1=0,得 k=1,故答案为:1【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大11 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为 7 第 12 页(共 24 页)【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 4,可得:进入循环的条件为i4,即 i=1,2,3,4模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值【解答】解:当 i=1 时,S=1+11=1;当 i=2 时,
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