2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版).doc
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1、第 1 页(共 21 页)2014 年全国统一高考数学试卷(理科)年全国统一高考数学试卷(理科) (大纲版)(大纲版)一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分)分)1 (5 分)设 z=,则 z 的共轭复数为( )A1+3iB13i C1+3i D13i2 (5 分)设集合 M=x|x23x40,N=x|0x5,则 MN=( )A (0,4 B0,4)C1,0)D (1,03 (5 分)设 a=sin33,b=cos55,c=tan35,则( )Aabc Bbca Ccba Dcab4 (5 分)若向量 、 满足:| |=1, ( + ) , (2 +
2、) ,则| |=( )A2BC1D5 (5 分)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A60 种B70 种C75 种D150 种6 (5 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( )A+=1B+y2=1C+=1D+=17 (5 分)曲线 y=xex1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2eBeC2D18 (5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为( )AB
3、16 C9D第 2 页(共 21 页)9 (5 分)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=( )ABCD10 (5 分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前 8 项和等于( )A6B5C4D311 (5 分)已知二面角 l 为 60,AB,ABl,A 为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( )ABCD12 (5 分)函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反函数是( )Ay=g(x)By=g(x
4、)Cy=g(x)Dy=g(x)二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分) )13 (5 分)的展开式中 x2y2的系数为 (用数字作答)14 (5 分)设 x、y 满足约束条件,则 z=x+4y 的最大值为 15 (5 分)直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1与 l2的交点为(1,3) ,则 l1与 l2的夹角的正切值等于 16 (5 分)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间(,)是减函数,则 a 的取值范围是 三、解答题三、解答题17 (10 分)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知3acos
5、C=2ccosA,tanA=,求 B第 3 页(共 21 页)18 (12 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,a2为整数,且SnS4(1)求an的通项公式;(2)设 bn=,求数列bn的前 n 项和 Tn19 (12 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2()证明:AC1A1B;()设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为,求二面角 A1ABC 的大小20 (12 分)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备
6、相互独立()求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;()X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望21 (12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|()求 C 的方程;()过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程22 (12 分)函数 f(x)=ln(x+1)(a1) ()讨论 f(x)的单调性;()设 a1=1,an+1=ln(an+1) ,证明:an(nN*) 第 4
7、 页(共 21 页)第 5 页(共 21 页)2014 年全国统一高考数学试卷(理科)年全国统一高考数学试卷(理科) (大纲版)(大纲版)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分)分)1 (5 分)设 z=,则 z 的共轭复数为( )A1+3iB13i C1+3i D13i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则 z 的共轭可求【解答】解:z=,故选:D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题2 (5 分)设集合 M=x|x23x40,N=x|0x5,则 MN=( )A (0,4 B0
8、,4)C1,0)D (1,0【分析】求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解【解答】解:由 x23x40,得1x4M=x|x23x40=x|1x4,又 N=x|0x5,MN=x|1x4x|0x5=0,4) 故选:B【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题3 (5 分)设 a=sin33,b=cos55,c=tan35,则( )第 6 页(共 21 页)Aabc Bbca Ccba Dcab【分析】可得 b=sin35,易得 ba,c=tan35=sin35,综合可得【解答】解:由诱导公式可得 b=cos55=cos(9035)=sin35,由正弦函数
9、的单调性可知 ba,而 c=tan35=sin35=b,cba故选:C【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题4 (5 分)若向量 、 满足:| |=1, ( + ) , (2 + ) ,则| |=( )A2BC1D【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得( + ) =0, (2 + ) =0,由此求得| |【解答】解:由题意可得, ( + ) =+=1+=0,=1;(2 + ) =2+=2+=0,b2=2,则| |=,故选:B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题5 (5 分)有 6 名男医生、5 名女医
10、生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A60 种B70 种C75 种D150 种【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算第 7 页(共 21 页)可得答案【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C62=15 种选法,再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C51=5 种选法,则不同的选法共有 155=75 种;故选:C【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同6 (5 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)的
11、左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( )A+=1B+y2=1C+=1D+=1【分析】利用AF1B 的周长为 4,求出 a=,根据离心率为,可得c=1,求出 b,即可得出椭圆的方程【解答】解:AF1B 的周长为 4,AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4,a=,离心率为,c=1,b=,椭圆 C 的方程为+=1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题第 8 页(共 21 页)7 (5 分)曲线 y=xex
12、1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2eBeC2D1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解:函数的导数为 f(x)=ex1+xex1=(1+x)ex1,当 x=1 时,f(1)=2,即曲线 y=xex1在点(1,1)处切线的斜率 k=f(1)=2,故选:C【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础8 (5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的表面积为( )AB16 C9D【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出
13、球的表面积【解答】解:设球的半径为 R,则棱锥的高为 4,底面边长为 2,R2=(4R)2+()2,R=,球的表面积为 4()2=故选:A第 9 页(共 21 页)【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题9 (5 分)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上,若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=( )ABCD【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解:双曲线 C 的离心率为 2,e=,即 c=2a,点 A 在双曲线上,则|F1A|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,解得|F1A|=4
14、a,|F2A|=2a,|F1F2|=2c,则由余弦定理得 cosAF2F1=故选:A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力10 (5 分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前 8 项和等于( )A6B5C4D3【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解:数列an是等比数列,a4=2,a5=5,a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10第 10 页(共 21 页)lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=4lg10=4故选:C【点评
15、】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题11 (5 分)已知二面角 l 为 60,AB,ABl,A 为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( )ABCD【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案【解答】解:如图,过 A 点做 AEl,使 BE,垂足为 E,过点 A 做AFCD,过点 E 做 EFAE,连接 BF,AEl EAC=90CDAF又ACD=135FAC=45EAF=45在 RtBEA 中,设 AE=a,则 AB=2a,BE=a,在 RtAEF 中,则
16、EF=a,AF=a,在 RtBEF 中,则 BF=2a,异面直线 AB 与 CD 所成的角即是BAF,第 11 页(共 21 页)cosBAF=故选:B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题12 (5 分)函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反函数是( )Ay=g(x)By=g(x)Cy=g(x)Dy=g(x)【分析】设 P(x,y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则 P 关于 y=x 的对称点 P(y,x)一点在 y=f(x)
17、的图象上,P(y,x)关于直线 x+y=0 的对称点 P(x,y)在 y=g(x)图象上,代入解析式变形可得【解答】解:设 P(x,y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则 P 关于 y=x 的对称点 P(y,x)一点在 y=f(x)的图象上,又函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称,P(y,x)关于直线 x+y=0 的对称点 P(x,y)在 y=g(x)图象上,必有y=g(x) ,即 y=g(x)y=f(x)的反函数为:y=g(x)故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题第 12 页(共 21 页)二、填空题二、填空题( (本大题共
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