2014年天津市高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 28 页)2014 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分)分)1 (5 分)i 是虚数单位,复数=( )A1iB1+i C+i D+i2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( )A2B3C4D53 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值为( )A15B105 C245 D9454 (5 分)函数 f(x)=log(x24)的单调递增区间为( )A (0,+)B (,0)C (2,+)D (,2)5 (5 分)已知双曲线=1(a0,
2、b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( )第 2 页(共 28 页)A=1B=1C=1 D=16 (5 分)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点 D,交BC 于 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:BD 平分CBF;FB2=FDFA;AECE=BEDE;AFBD=ABBF所有正确结论的序号是( )ABC D7 (5 分)设 a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8 (5 分)已知菱形 ABC
3、D 的边长为 2,BAD=120,点 E、F 分别在边 BC、DC上,=,=,若=1,=,则 +=( )ABCD二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分)第 3 页(共 28 页)9 (5 分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m311 (5 分)设an是首项为
4、a1,公差为1 的等差数列,Sn为其前 n 项和,若S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 12 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知bc=a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为 13 (5 分)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于A、B 两点,若AOB 是等边三角形,则 a 的值为 14 (5 分)已知函数 f(x)=|x2+3x|,xR,若方程 f(x)a|x1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,共小题,共 80 分)分)15 (13 分)
5、已知函数 f(x)=cosxsin(x+)cos2x+,xR()求 f(x)的最小正周期;第 4 页(共 28 页)()求 f(x)在闭区间,上的最大值和最小值16 (13 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学,在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) ()求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;()设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望17 (13 分)如图,在四棱锥 PABC
6、D 中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点()证明:BEDC;()求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值;()若 F 为棱 PC 上一点,满足 BFAC,求二面角 FABP 的余弦值18 (13 分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,上顶点为 B,已知|AB|=|F1F2|()求椭圆的离心率;()设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率19 (14 分)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合
7、M=0,1,2,q1,集合 A=x|x=x1+x2q+xnqn1,xiM,i=1,2,n()当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A;第 5 页(共 28 页)()设 s,tA,s=a1+a2q+anqn1,t=b1+b2q+bnqn1,其中ai,biM,i=1,2,n证明:若 anbn,则 st20 (14 分)设 f(x)=xaex(aR) ,xR,已知函数 y=f(x)有两个零点x1,x2,且 x1x2()求 a 的取值范围;()证明:随着 a 的减小而增大;()证明 x1+x2随着 a 的减小而增大第 6 页(共 28 页)2014 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷
8、(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分)分)1 (5 分)i 是虚数单位,复数=( )A1iB1+i C+i D+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数 34i,即求出值【解答】解:复数=,故选:A【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( )A2B3C4D5【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由 z=x+2y,得 y=,平移直线
9、y=,由图象可知当直线 y=经过点 B(1,1)时,直线 y=的截距最小,此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3,故选:B第 7 页(共 28 页)【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值为( )A15B105 C245 D945【分析】算法的功能是求 S=135(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的 i 值,计算输出 S 的值【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 S=135(2i+1)的值,跳出循环的 i 值为 4,输出 S=1357=105故选:B【点评】本题考查了直到型
10、循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的第 8 页(共 28 页)功能是解答本题的关键4 (5 分)函数 f(x)=log(x24)的单调递增区间为( )A (0,+)B (,0)C (2,+)D (,2)【分析】令 t=x240,求得函数 f(x)的定义域为(,2)(2,+) ,且函数 f(x)=g(t)=logt根据复合函数的单调性,本题即求函数 t 在(,2)(2,+) 上的减区间再利用二次函数的性质可得,函数 t 在(,2)(2,+) 上的减区间【解答】解:令 t=x240,可得 x2,或 x2,故函数 f(x)的定义域为(,2)(2,+) ,当 x(,2)时,t 随 x 的增大而
11、减小,y=logt 随 t 的减小而增大,所以 y=log(x24)随 x 的增大而增大,即 f(x)在(,2)上单调递增故选:D【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题5 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( )A=1B=1C=1 D=1第 9 页(共 28 页)【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,可得=2,结合 c2=a2+b2,求出 a,b,即可求出双曲线的方程【解答】解:双曲线的一个焦点在
12、直线 l 上,令 y=0,可得 x=5,即焦点坐标为(5,0) ,c=5,双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,=2,c2=a2+b2,a2=5,b2=20,双曲线的方程为=1故选:A【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题6 (5 分)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点 D,交BC 于 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:BD 平分CBF;FB2=FDFA;AECE=BEDE;AFBD=ABBF所有正确结论的序号是( )第 10 页(共 28 页)ABC D【分析】
13、本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项【解答】解:圆周角DBC 对应劣弧 CD,圆周角DAC 对应劣弧 CD,DBC=DAC弦切角FBD 对应劣弧 BD,圆周角BAD 对应劣弧 BD,FBD=BAFAD 是BAC 的平分线,BAF=DACDBC=FBD即 BD 平分CBF即结论正确又由FBD=FAB,BFD=AFB,得FBDFAB由,FB2=FDFA即结论成立由,得 AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故选:D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于基础题7 (5 分)设 a,bR,
14、则“ab”是“a|a|b|b|”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件第 11 页(共 28 页)C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解:若 ab,ab0,不等式 a|a|b|b|等价为 aabb,此时成立0ab,不等式 a|a|b|b|等价为aabb,即 a2b2,此时成立a0b,不等式 a|a|b|b|等价为 aabb,即 a2b2,此时成立,即充分性成立若 a|a|b|b|,当 a0,b0 时,a|a|b|b|去掉绝对值得, (ab) (a+b)0,因为a+b0,所以 ab0,即 ab当 a0,b0 时,ab
15、当 a0,b0 时,a|a|b|b|去掉绝对值得, (ab) (a+b)0,因为a+b0,所以 ab0,即 ab即必要性成立,综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键8 (5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E、F 分别在边 BC、DC上,=,=,若=1,=,则 +=( )ABCD【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由=1,求得 4+42=3 ;再由=,求得+=结合求得 + 的值【解答】解:由题意可得若=(+)(+)=+第 1
16、2 页(共 28 页)+ =22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1,4+42=3 =()=(1)(1)=(1)(1)=(1) (1)22cos120=(1+) (2)=,即+=由求得 +=,故选:C【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,属于中档题二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分)9 (5 分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级
17、的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,第 13 页(共 28 页)故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300=60,故答案为:60【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m3【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积
18、公式计算【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为 4,底面直径为 2,圆锥的高为 2,底面直径为 4,几何体的体积 V=124+222=4+=故答案为:【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键11 (5 分)设an是首项为 a1,公差为1 的等差数列,Sn为其前 n 项和,若第 14 页(共 28 页)S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 【分析】由条件求得,Sn=,再根据 S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1S4,由此求得 a1的值【解答】解:由题意可得,an=a1+(n1) (1)=a1+1n,
19、Sn=,再根据若 S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1S4,即 =a1(4a16) ,解得 a1=,故答案为:【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题12 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知bc=a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为 【分析】由条件利用正弦定理求得 a=2c,b=,再由余弦定理求得 cosA=的值【解答】解:在ABC 中,bc=a ,2sinB=3sinC,2b=3c ,由可得 a=2c,b=再由余弦定理可得 cosA=,故答案为:【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中
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