2015年福建省高考数学试卷(文科).doc
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1、第 1 页(共 23 页)2015 年福建省高考数学试卷(文科)年福建省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分1 (5 分)若(1+i)+(23i)=a+bi(a,bR,i 是虚数单位) ,则 a,b 的值分别等于( )A3,2B3,2C3,3D1,42 (5 分)若集合 M=x|2x2,N=0,1,2,则 MN=( )A0 B1 C0,1,2D0,13 (5 分)下列函数为奇函数的是( )Ay=By=exCy=cosxDy=exex4 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,
2、则输出 y 的值为( )A2B7C8D1285 (5 分)若直线=1(a0,b0)过点(1,1) ,则 a+b 的最小值等于( )A2B3C4D56 (5 分)若 sin=,则 为第四象限角,则 tan 的值等于( )ABCD7 (5 分)设 =(1,2) , =(1,1) , = +k ,若,则实数 k 的值等于第 2 页(共 23 页)( )ABCD8 (5 分)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0) ,且点C 与点 D 在函数 f(x)=的图象上,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )ABCD9 (5 分)某几何体的三视图
3、如图所示,则该几何体的表面积等于( )A8+2B11+2C14+2D1510 (5 分)变量 x,y 满足约束条件,若 z=2xy 的最大值为 2,则实数 m 等于( )A2B1C1D211 (5 分)已知椭圆 E:+=1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l的距离不小于,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )第 3 页(共 23 页)A (0,B (0, C,1)D,1)12 (5 分) “对任意 x,ksinxcosxx”是“k1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必
4、要条件D既不充分也不必要条件二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 16 分分13 (4 分)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 14 (4 分)在ABC 中,AC=,A=45,C=75,则 BC 的长度是 15 (4 分)若函数 f(x)=2|xa|(aR)满足 f(1+x)=f(1x) ,且 f(x)在m,+)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 16 (4 分)若 a,b 是函数 f(x)=x2px+q(p0,q0)的两个不同的
5、零点,且 a,b,2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 74 分分17 (12 分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15()求数列an的通项公式;()设 bn=2+n,求 b1+b2+b3+b10的值18 (12 分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标,根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示:组号分组频数14,5)2第 4 页(
6、共 23 页)25,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数19 (12 分)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3,()求抛物线 E 的方程;()已知点 G(1,0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切20 (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于
7、 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1,()若 D 为线段 AC 的中点,求证;AC平面 PDO;()求三棱锥 PABC 体积的最大值;()若 BC=,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值21 (12 分)已知函数 f(x)=10sincos+10cos2第 5 页(共 23 页)()求函数 f(x)的最小正周期;()将函数 f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,且函数 g(x)的 最大值为 2(i)求函数 g(x)的解析式;(ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)022
8、 (14 分)已知函数 f(x)=lnx()求函数 f(x)的单调增区间;()证明;当 x1 时,f(x)x1;()确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x01,当 x(1,x0)时,恒有f(x)k(x1) 第 6 页(共 23 页)2015 年福建省高考数学试卷(文科)年福建省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分1 (5 分)若(1+i)+(23i)=a+bi(a,bR,i 是虚数单位) ,则 a,b 的值分别等于( )A3,2B3,2C3,3D1,4【分析】由复数的加
9、法运算化简等式左边,然后由实部等于实部,虚部等于虚部求得 a,b 的值【解答】解:由(1+i)+(23i)=32i=a+bi,得 a=3,b=2故选:A【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条件,是基础题2 (5 分)若集合 M=x|2x2,N=0,1,2,则 MN=( )A0 B1 C0,1,2D0,1【分析】直接利用交集及其运算得答案【解答】解:由 M=x|2x2,N=0,1,2,得 MN=x|2x20,1,2=0,1故选:D【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题3 (5 分)下列函数为奇函数的是( )Ay=By=exCy=cosxDy=exex【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即
10、可【解答】解:A函数的定义域为0,+) ,定义域关于原点不对称,故 A 为第 7 页(共 23 页)非奇非偶函数B函数 y=ex单调递增,为非奇非偶函数Cy=cosx 为偶函数Df(x)=exex=(exex)=f(x) ,则 f(x)为奇函数,故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性定义是解决本题的关键4 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为( )A2B7C8D128【分析】模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是求 y=的值,从而得解【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是求 y=的值,若 x=1不满足条件
11、 x2,y=8输出 y 的值为 8故选:C【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到程序框图的功能是解题的第 8 页(共 23 页)关键,属于基础题5 (5 分)若直线=1(a0,b0)过点(1,1) ,则 a+b 的最小值等于( )A2B3C4D5【分析】将(1,1)代入直线得:+=1,从而 a+b=(+) (a+b) ,利用基本不等式求出即可【解答】解:直线=1(a0,b0)过点(1,1) ,+=1(a0,b0) ,所以 a+b=(+) (a+b)=2+2+2=4,当且仅当=即 a=b=2 时取等号,a+b 最小值是 4,故选:C【点评】本题考察了基本不等式的性质,求出+=1,得到 a
12、+b=(+)(a+b)是解题的关键6 (5 分)若 sin=,则 为第四象限角,则 tan 的值等于( )ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出 cos,然后求解即可【解答】解:sin=,则 为第四象限角,cos=,tan=故选:D【点评】本题考查三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力第 9 页(共 23 页)7 (5 分)设 =(1,2) , =(1,1) , = +k ,若,则实数 k 的值等于( )ABCD【分析】由题意可得 的坐标,进而由垂直关系可得 k 的方程,解方程可得【解答】解: =(1,2) , =(1,1) , = +k =(1+k,2+k
13、), =0,1+k+2+k=0,解得 k=故选:A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系,属基础题8 (5 分)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0) ,且点C 与点 D 在函数 f(x)=的图象上,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )ABCD【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标,进而可得面积,由几何概型可得【解答】解:由题意可得 B(1,0) ,把 x=1 代入 y=x+1 可得 y=2,即 C(1,2) ,把 x=0 代入 y=x+1 可得 y=1,即图中阴影三角形的第 3 个定点为(0,1) ,令=2 可解得 x=2
14、,即 D(2,2) ,矩形的面积 S=32=6,阴影三角形的面积 S=31=,第 10 页(共 23 页)所求概率 P=故选:B【点评】本题考查几何概型,涉及面积公式和分段函数,属基础题9 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A8+2B11+2C14+2D15【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,底面的梯形上底 1,下底 2,高为 1,运用梯形,矩形的面积公式求解即可【解答】解:根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,底面的梯形上底 1,下底 2,高为 1,侧面为(4)2=8,底面为(2+1)1=,故几何体的表面积为
15、8=11,故选:B【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,关键是能够恢复判断几何体的形状10 (5 分)变量 x,y 满足约束条件,若 z=2xy 的最大值为 2,则实数 m 等于( )A2B1C1D2第 11 页(共 23 页)【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求得 m 的值【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得 A() ,化目标函数 z=2xy 为 y=2xz,由图可知,当直线过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为,解得:m=1故选:C【点评】本题考查了简单的线
16、性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题11 (5 分)已知椭圆 E:+=1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l的距离不小于,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A (0,B (0, C,1)D,1)【分析】如图所示,设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,BF,则四边形 AFBF是平第 12 页(共 23 页)行四边形,可得 4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a取 M(0,b) ,由点 M 到直线 l的距离不小于,可得,解得 b1再利用离心率计算公式 e=即可得出【解答
17、】解:如图所示,设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,BF,则四边形 AFBF是平行四边形,4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a,a=2取 M(0,b) ,点 M 到直线 l 的距离不小于,解得 b1e=椭圆 E 的离心率的取值范围是故选:A【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12 (5 分) “对任意 x,ksinxcosxx”是“k1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用二倍角公式化简不等式,利用三角函数线判断充要条件即可【解答】解:对任意 x,k
18、sinxcosxx,即对任意x,ksin2x2x,第 13 页(共 23 页)当 k1 时,ksin2x2x 恒成立(sinxx 在 x恒成立) ,但是对任意 x,ksinxcosxx”,可得 k=1 也成立,所以“对任意 x,ksinxcosxx”是“k1”的必要而不充分条件故选:B【点评】本题考查充要条件的判断与应用,三角函数线的应用,考查逻辑推理能力二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 16 分分13 (4 分)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,
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