2015年天津市高考数学试卷(文科).doc
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1、第 1 页(共 24 页)2015 年天津市高考数学试卷(文科)年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题:每题一、选择题:每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的求的1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,5,6,集合 A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合 AUB=( )A3 B2,5 C1,4,6D2,3,52 (5 分)若实数 x,y 满足条件,则 z=3x+y 的最大值为( )A7B8C9D143 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )A2B3C4D54 (5 分)设
2、 xR,则“1x2”是“|x2|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线的渐近线与圆(x2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( )第 2 页(共 24 页)A=1B=1Cy2=1 Dx2=16 (5 分)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )AB3CD7 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|xm|1(m 为实数)为偶函数,记a=f(log0.53)
3、,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( )Aabc Bacb Ccab Dcba8 (5 分)已知函数 f(x)=,函数 g(x)=3f(2x) ,则函数y=f(x)g(x)的零点个数为( )A2B3C4D5二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分9 (5 分)i 是虚数单位,计算的结果为 10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m3第 3 页(共 24 页)11 (5 分)已知函数 f(x)=axlnx,x(0,+) ,其中 a 为实数,f(x)为f(x)的导
4、函数,若 f(1)=3,则 a 的值为 12 (5 分)已知 a0,b0,ab=8,则当 a 的值为 时,log2alog2(2b)取得最大值13 (5 分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,点E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且=,=,则的值为 14 (5 分)已知函数 f(x)=sinx+cosx(0) ,xR,若函数 f(x)在区间(,)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 的值为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演分,解答应写出文字说明,
5、证明过程或演算步骤算步骤15 (13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛()求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;()将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件A 发生的概率16 (13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知ABC的面积为 3,bc=2,c
6、osA=()求 a 和 sinC 的值;()求 cos(2A+)的值17 (13 分)如图,已知 AA1平面 ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点()求证:EF平面 A1B1BA;第 4 页(共 24 页)()求证:平面 AEA1平面 BCB1;()求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小18 (13 分)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a53b2=7()求an和bn的通项公式;()设 cn=anbn,nN*,求数列cn的前 n 项和19 (14 分)已
7、知椭圆+=1(ab0)的上顶点为 B,左焦点为 F,离心率为()求直线 BF 的斜率()设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B) ,直线 PQ 与 y 轴交于点 M,|PM|=|MQ|(i)求 的值(ii)若|PM|sinBQP=,求椭圆的方程20 (14 分)已知函数 f(x)=4xx4,xR()求 f(x)的单调区间;()设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为y=g(x) ,求证:对于任意的实数 x,都有 f(x)g(x) ;()若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数
8、根 x1,x2,且 x1x2,求证:第 5 页(共 24 页)x2x1+4第 6 页(共 24 页)2015 年天津市高考数学试卷(文科)年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:每题一、选择题:每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的求的1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,5,6,集合 A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合 AUB=( )A3 B2,5 C1,4,6D2,3,5【分析】求出集合 B 的补集,然后求解交集即可【解答】解:全集 U=1,2,3,4,5,6,
9、集合 B=1,3,4,6,UB=2,5,又集合 A=2,3,5,则集合 AUB=2,5故选:B【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查2 (5 分)若实数 x,y 满足条件,则 z=3x+y 的最大值为( )A7B8C9D14【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分) 由 z=3x+y 得 y=3x+z,平移直线 y=3x+z,由图象可知当直线 y=3x+z 经过点 A 时,直线 y=3x+z 的截距最大,此时 z 最大由,解得,即 A(2,3) ,代入目标函数 z=3x+y 得 z=32+3=
10、9第 7 页(共 24 页)即目标函数 z=3x+y 的最大值为 9故选:C【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )A2B3C4D5【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 S=0 时满足条件 S1,退出循环,输出 i 的值为 4【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=10,i=0第 8 页(共 24 页)i=1,S=9不满足条件 S1,i=2,S=7不满足条件 S1,i=3,S=4不满足条件 S1,i=4,S=0满足条件 S1
11、,退出循环,输出 i 的值为 4故选:C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 i,S的值是解题的关键,属于基础题4 (5 分)设 xR,则“1x2”是“|x2|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求解:|x2|1,得出“1x2”,根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解:|x2|1,1x3,“1x2”根据充分必要条件的定义可得出:“1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易题第 9 页(共 24 页)5 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的
12、一个焦点为 F(2,0) ,且双曲线的渐近线与圆(x2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( )A=1B=1Cy2=1 Dx2=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程,根据圆心到切线的距离等于半径得,求出 a,b 的关系,结合焦点为 F(2,0) ,求出 a,b 的值,即可得到双曲线的方程【解答】解:双曲线的渐近线方程为 bxay=0,双曲线的渐近线与圆(x2)2+y2=3 相切,b=a,焦点为 F(2,0) ,a2+b2=4,a=1,b=,双曲线的方程为 x2=1故选:D【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出 a,b 的值,是解题的关键6 (
13、5 分)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )第 10 页(共 24 页)AB3CD【分析】由相交弦定理求出 AM,再利用相交弦定理求 NE 即可【解答】解:由相交弦定理可得 CMMD=AMMB,24=AM2AM,AM=2,MN=NB=2,又 CNNE=ANNB,3NE=42,NE=故选:A【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础7 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|xm|1(m 为实数)为偶函数,记a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c
14、=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( )Aabc Bacb Ccab Dcba【分析】根据 f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而 f(x)=2|x|1,这样便知道f(x)在0,+)上单调递增,根据 f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间0,+)上:a=f(|log0.53|) ,b=f(log25) ,c=f(0) ,然后再比较自变量的值,根据 f(x)在0,+)上的单调性即可比较出 a,b,c 的大小【解答】解:f(x)为偶函数;f(x)=f(x) ;2|xm|1=2|xm|1;第 11 页(共 24 页)|xm|=|xm|;(xm)2=(xm)2;mx=0;m=0;f(x)
15、=2|x|1;f(x)在0,+)上单调递增,并且 a=f(|log0.53|)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f(0) ;0log23log25;cab故选:C【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0,+)上,根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用8 (5 分)已知函数 f(x)=,函数 g(x)=3f(2x) ,则函数y=f(x)g(x)的零点个数为( )A2B3C4D5【分析】求出函数 y=f(x)g(x)的表达式,构造函数 h(x)=f(x)+f(2x) ,作出函
16、数 h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可【解答】解:g(x)=3f(2x) ,y=f(x)g(x)=f(x)3+f(2x) ,由 f(x)3+f(2x)=0,得 f(x)+f(2x)=3,设 h(x)=f(x)+f(2x) ,若 x0,则x0,2x2,第 12 页(共 24 页)则 h(x)=f(x)+f(2x)=2+x+x2,若 0x2,则2x0,02x2,则 h(x)=f(x)+f(2x)=2x+2|2x|=2x+22+x=2,若 x2,x0,2x0,则 h(x)=f(x)+f(2x)=(x2)2+2|2x|=x25x+8即 h(x)=,作出函数 h(x)的图象如图:当 y=3 时,两
17、个函数有 2 个交点,故函数 y=f(x)g(x)的零点个数为 2 个,故选:A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分9 (5 分)i 是虚数单位,计算的结果为 i 【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解:i 是虚数单位,第 13 页(共 24 页)=i故答案为:i【点评】本题考查复数的乘除运算,基本知识的考查10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m3【分析】根据几何体的三视图,得出
18、该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,且圆柱底面圆的半径为 1,高为 2,圆锥底面圆的半径为 1,高为 1;该几何体的体积为V几何体=2121+122=故答案为:【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目11 (5 分)已知函数 f(x)=axlnx,x(0,+) ,其中 a 为实数,f(x)为f(x)的导函数,若 f(1)=3,则 a 的值为 3 【分析】由题意求出 f(x) ,利用 f(1)=3,求 a第 14 页(共 24 页)【解答】解:因为 f(x)=axln
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