2015年天津市高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 25 页)2015 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷(理科)一一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=2,3,5,6,集合 B=1,3,4,6,7,则集合 AUB=( )A2,5 B3,6 C2,5,6D2,3,5,6,82 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=x+6y 的最大值为( )A3B4C18D403 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )A10 B6
2、C14D184 (5 分)设 xR,则“|x2|1”是“x2+x20”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 (5 分)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )第 2 页(共 25 页)AB3CD6 (5 分)已知双曲线=1 (a0,b0)的一条渐近线过点(2,) ,且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )A=1B=1C=1D=17 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|xm|1(m 为实数)为偶函数,记
3、a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( )Aabc Bacb Ccab Dcba8 (5 分)已知函数 f(x)=,函数 g(x)=bf(2x) ,其中bR,若函数 y=f(x)g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )A (,+) B (,)C (0,)D (,2)二二.填空题(每小题填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分)9 (5 分)i 是虚数单位,若复数(12i) (a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m3第 3 页(共 25
4、页)11 (5 分)曲线 y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 12 (5 分)在(x)6的展开式中,x2的系数为 13 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c已知ABC的面积为 3,bc=2,cosA=,则 a 的值为 14 (5 分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且=,=,则的最小值为 三三.解答题(本大题共解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 80 分)分)15 (13 分)已知函数 f(x)=sin2xsin2(x) ,xR()求 f(x)的最小正周期;
5、()求 f(x)在区间,内的最大值和最小值16 (13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名,从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛()设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A 发生的概率;()设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望17 (13 分)如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,侧棱 AA1底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD
6、=CD=,且点 M 和 N 分别为 B1C 和第 4 页(共 25 页)D1D 的中点()求证:MN平面 ABCD()求二面角 D1ACB1的正弦值;()设 E 为棱 A1B1上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为,求线段 A1E 的长18 (13 分)已知数列an满足 an+2=qan(q 为实数,且 q1) ,nN*,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列(1)求 q 的值和an的通项公式;(2)设 bn=,nN*,求数列bn的前 n 项和19 (14 分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为 F(c,0) ,离心率为,点 M 在椭圆上且位于第
7、一象限,直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c,|FM|=()求直线 FM 的斜率;()求椭圆的方程;()设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围20 (14 分)已知函数 f(x)=nxxn,xR,其中 nN,且 n2()讨论 f(x)的单调性;()设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为y=g(x) ,求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)g(x) ;第 5 页(共 25 页)()若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x1,x2,求证:|x2x1|+2第 6 页(
8、共 25 页)2015 年天津市高考数学试卷(理科)年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=2,3,5,6,集合 B=1,3,4,6,7,则集合 AUB=( )A2,5 B3,6 C2,5,6D2,3,5,6,8【分析】由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可;【解答】解:全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=2,3,5,6,集合 B
9、=1,3,4,6,7,UB=2,5,8,则 AUB=2,5故选:A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=x+6y 的最大值为( )A3B4C18D40【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分) 由 z=x+6y 得 y=x+z,平移直线 y=x+z,由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时,直线 y=x+z 的截距最大,此时 z 最大第 7 页(共 25 页)由,解得,即 A(0,3)将 A(0
10、,3)的坐标代入目标函数 z=x+6y,得 z=36=18即 z=x+6y 的最大值为 18故选:C【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )A10 B6C14D18【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=8 时满足条件 i5,退出循环,输出 S 的值为 6第 8 页(共 25 页)【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=20,i=1i=2,S=18不满足条件 i5,i=4,S=14不满足条件 i5,i=8,S=6满足条件 i5
11、,退出循环,输出 S 的值为 6故选:B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 i,S的值是解题的关键,属于基础题4 (5 分)设 xR,则“|x2|1”是“x2+x20”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:由“|x2|1”得 1x3,由 x2+x20 得 x1 或 x2,即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础5 (5 分)如图,在圆 O 中,M、N 是弦 AB 的三等分点,弦
12、 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为( )AB3CD【分析】由相交弦定理求出 AM,再利用相交弦定理求 NE 即可第 9 页(共 25 页)【解答】解:由相交弦定理可得 CMMD=AMMB,24=AM2AM,AM=2,MN=NB=2,又 CNNE=ANNB,3NE=42,NE=故选:A【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础6 (5 分)已知双曲线=1 (a0,b0)的一条渐近线过点(2,) ,且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )A=1B=1C=1D=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程
13、,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双曲线的标准方程【解答】解:由题意,=,抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=,双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上,c=,a2+b2=c2=7,a=2,b=,第 10 页(共 25 页)双曲线的方程为故选:B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题7 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|xm|1(m 为实数)为偶函数,记a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,
14、b,c 的大小关系为( )Aabc Bacb Ccab Dcba【分析】根据 f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而 f(x)=2|x|1,这样便知道f(x)在0,+)上单调递增,根据 f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间0,+)上:a=f(|log0.53|) ,b=f(log25) ,c=f(0) ,然后再比较自变量的值,根据 f(x)在0,+)上的单调性即可比较出 a,b,c 的大小【解答】解:f(x)为偶函数;f(x)=f(x) ;2|xm|1=2|xm|1;|xm|=|xm|;(xm)2=(xm)2;mx=0;m=0;f(x)=2|x|1;f(x)在0,+)上单调递增,并且 a
15、=f(|log0.53|)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f(0) ;0log23log25;cab第 11 页(共 25 页)故选:C【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0,+)上,根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用8 (5 分)已知函数 f(x)=,函数 g(x)=bf(2x) ,其中bR,若函数 y=f(x)g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )A (,+) B (,)C (0,)D (,2)【分析】求出函数 y=f(x)g(x)的表达式,构造
16、函数 h(x)=f(x)+f(2x) ,作出函数 h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可【解答】解:g(x)=bf(2x) ,y=f(x)g(x)=f(x)b+f(2x) ,由 f(x)b+f(2x)=0,得 f(x)+f(2x)=b,设 h(x)=f(x)+f(2x) ,若 x0,则x0,2x2,则 h(x)=f(x)+f(2x)=2+x+x2,若 0x2,则2x0,02x2,则 h(x)=f(x)+f(2x)=2x+2|2x|=2x+22+x=2,若 x2,x2,2x0,则 h(x)=f(x)+f(2x)=(x2)2+2|2x|=x25x+8即 h(x)=,作出函数 h(x)的图象如图:
17、第 12 页(共 25 页)当 x0 时,h(x)=2+x+x2=(x+)2+,当 x2 时,h(x)=x25x+8=(x)2+,故当 b=时,h(x)=b,有两个交点,当 b=2 时,h(x)=b,有无数个交点,由图象知要使函数 y=f(x)g(x)恰有 4 个零点,即 h(x)=b 恰有 4 个根,则满足b2,故选:D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键二二.填空题(每小题填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分)9 (5 分)i 是虚数单位,若复数(12i) (a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 2 【分析】由复数代数形式
18、的乘除运算化简,再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解:由(12i) (a+i)=(a+2)+(12a)i 为纯虚数,得,解得:a=2故答案为:2第 13 页(共 25 页)【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题10 (5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m3【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,且圆柱底面圆的半径为 1,高为 2,圆锥底面圆的半径为 1,高为 1;该几何
19、体的体积为V几何体=2121+122=故答案为:【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目11 (5 分)曲线 y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可第 14 页(共 25 页)【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 1,积分下限为 0直线 y=x 与曲线 y=x2所围图形的面积 S=01(xx2)dx而01(xx2)dx=()|01=曲边梯形的面积是故答案为:【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查
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